Сторінка
3
Серед перетворень другого типу перетворення нерівностей утворюють складну у вивченні, велику систему. Цим значною мірою пояснюється те, що навички розв’язування нерівностей формуються повільніше навичок розв’язування рівнянь і не досягають у більшості учнів такого ж рівня.
До третього типу перетворень відносяться перетворення нерівностей та їх систем, що змінюють логічну структуру завдань. Пояснимо використаний термін «логічна структура». У кожному завданні можна виділити елементарні предикати - окремі рівняння або нерівності. Під логічною структурою завдання ми розуміємо спосіб зв'язку цих елементарних предикатів за допомогою логічних зв'язків кон'юнкції або диз'юнкції.
Вивчення та використання перетворень нерівностей та їх систем, з одного боку, припускають досить високу логічну культуру учнів, а з іншого боку, в процесі вивчення і застосування таких перетворень є широкі можливості для формування логічної культури. Велике значення має з'ясування питань, що відносяться до характеризації вироблених перетворень: чи є вони рівносильними чи логічним слідуванням, чи потрібне розгляд декількох випадків, чи потрібна перевірка? Складнощі, які доводиться долати тут, пов'язані з тим, що далеко не завжди можливо привести характеристику одного і того ж перетворення однозначно: у деяких випадках воно може виявитися, наприклад, рівносильним, в інших рівносильність буде порушена.
У результаті вивчення матеріалу лінії рівнянь і нерівностей учні повинні не тільки оволодіти застосуванням алгоритмічних приписів до розв’язання конкретних завдань, а й навчитися використовувати логічні засоби для обґрунтування розв’язків у випадках, коли це необхідно.
Загальна послідовність вивчення матеріалу лінії нерівностей
Необхідно враховувати два протилежно направлених процесу, які супроводжують навчання. Перший процес - поступове зростання кількості класів нерівностей і прийомів їх розв’язання, різних перетворень застосовуваних при цьому. За рахунок збільшення обсягу матеріал як би ділиться, вивчення його нових фрагментів не є наявністю вже вивчених, Другий процес встановлення різноманітних зв'язків між різними класами рівнянь, виявлення все більш загальних класів, закріплення усе більш узагальнених типів перетворень, спрощення опису та обґрунтування розв’язків.
У результаті взаємодії цих процесів вивчений матеріал повинен представлятися учням в порівняно компактному вигляді, не ускладнювати, а, навпаки, полегшувати засвоєння нового. Необхідність встановлення такої взаємодії обумовлює застосуванні в лінії рівнянь і нерівностей методичні прийоми, зокрема розподіл матеріалу навчання по щаблях.
Можна виділити чотири основні ступені: незалежне вивчення основних типів нерівностей та їх систем; поступове розширення кількості вивчених класів нерівностей та їх систем; формування прийомів розв’язання та аналізу нерівностей та їх систем, що мають широку область застосування; синтез матеріалу лінії рівнянь і нерівностей. Дамо характеристику цих щаблів.
Вивчення основних типів нерівностей та їх систем.
Серед усіх досліджуваних у курсі математики типів нерівностей і систем виділяється порівняно обмежена кількість основних типів, до їх числа можна віднести: лінійні нерівності з одним невідомим, квадратні нерівності, найпростіші ірраціональні і трансцендентні нерівності.
Ці класи вивчаються з великою ретельністю, для них вказується і доводиться до автоматизму виконання алгоритмів розв’язання, вказується форма, в якій повинна бути записана відповідь.
Введення кожного нового основного класу нерівностей супроводжується введенням нової області числових виразів, що входять в стандартну форму запису відповіді. Разом з тим, коли матеріал засвоєний, доцільно де коли пропонувати і такі завдання, в яких можуть виникати нестандартні для даного класу нерівностей відповіді.
Кожен з основних класів нерівностей та їх систем вимагає проведення дослідження залежності результату від коефіцієнтів, оскільки багато розв’язків у завданні, що входять в один і той же клас, можуть істотно відрізнятися. Для нерівностей та їх систем в якості міри відмінності зазвичай беруться найпростіші особливості геометричних фігур, що зображують їх різноманітність розв’язків з координатної прямої або площини. Інколи потрібно з'ясувати додатні чи від’ємні корені (якщо невідоме одне), належність розв’язків рівнянь з двома невідомими одній з координатних чвертей.
Формування загальних прийомів розв’язання і дослідження нерівностей
У ході вивчення нерівностей стає все більш помітною роль загальних, універсальних засобів розв’язання і дослідження. Такі узагальнені засоби, прийоми можна розділити на три групи.
Перша група складається з логічних методів обґрунтування розв’язання. Використовуючи ці методи (наприклад, рівносильні перетворення або логічне слідування), переходять від вихідних нерівностей до нових. Такі переходи робляться до тих пір, поки не виходять завдання, пов'язані з відомим класам.
Друга група складається з обчислювальних прийомів, за допомогою яких виробляються спрощення однієї з частин даної нерівності, перевірка знайдених коренів за допомогою підстановки замість невідомого, різні проміжні підрахунки в т.д. Можливості проведення чисельних розрахунків різко зростають при використанні обчислювальної техніки.
У третю групу входять наочно-графічні прийоми. Більшість цих прийомів використовують як основу координатну пряму або координатну площину.
Використання координатної прямої дозволяє розв’язувати деякі нерівності і системи нерівностей з одним невідомим, а також нерівності з модулями. Наприклад, прийом розв’язання систем лінійних нерівностей з одним невідомим полягає в тому, що на координатну пряму наносяться багато розв’язків кожної нерівності, а потім виділяється їх загальна частина. Розв’язання рівнянь і нерівностей з модулями зв'язується з геометричною інтерпретацією модуля різниці чисел.
Використання координатної площини дозволяє застосувати графічні методи до розв’язання і дослідження нерівностей та їх систем як з одним, так і з двома невідомими. Графічні прийоми ефективно застосовуються для зображення результатів дослідження там, де чисто аналітичний запис громіздкий. Характерним прикладом служить схема, на якій наведені різні випадки розв’язання нерівності axІ + bx + c> 0, вміщена на рис. 2.1. У результаті певного тренування учні звикають користуватися такою схемою, а потім її уявним чином.
Рис. 2.1. Графічні прийоми Особливості методики вивчення раціональних нерівностей
Ці класи можна розбити на дві групи. Перша група раціональні нерівності і системи. Найбільш важливими класами відповідні класи нерівностей. Друга група - ірраціональні і трансцендентні нерівності і системи. До складу цієї групи входять ірраціональні, показникові, логарифмічні і тригонометричні нерівності.
Перша група отримує достатню розгортання, аж до формування міцних навичок вирішення, вже в курсі алгебри неповної середньої школи. Друга ж група в цьому курсі тільки починає вивчатися, причому розглядаються далеко не всі класи, а остаточне вивчення відбувається в курсі алгебри і початків аналізу. При вивченні другої групи доводиться спиратися на загальні поняття і методи, пов'язані з лінії нерівностей. Зазначене відмінність, однак, не є єдиною, яка протиставляє ці дві групи. Більш суттєвим є врахування особливостей, пов'язаних з розгортанням матеріалу з кожної з цих груп. У порівнянні з першою групою нерівності, що входять до складу другої, в процесі їх вивчення виявляють значно складніші зв'язки з іншими лініями курсу математики - числовий, функціональної, тотожних перетворень і ін.