Сторінка
2

Формування математичного поняття дробі на уроках математики

Зрозуміло, що наведена нами ілюстративна схема є лише грубим наближенням до реального процесу мислення. Разом з тим навіть із цього найпростішого ілюстративного приклада видно, що поняття утворяться шляхом операції узагальнення, що нерозривно пов'язана з абстрагуванням.

Відзначимо, що відомо кілька видів узагальнення. Один з них будується на основі виділення загальних ознак об'єктів, відкиданні тих, котрими вони відрізняються. Так, наприклад, розглядаючи такі поняття, як «трикутник АВС», «трикутник» і «багатокутник», неважко встановити, що основне розходження між ними складається саме в ступені узагальненості: поняття «трикутник» ширше, ніж поняття «трикутник АВС», а поняття «багатокутник» ширше, ніж «трикутник». Зростання узагальненості понять відбувається в міру того, як відкидаються ті властивості-ознаки, які відрізняють одні об'єкти від інших. Так, у понятті «багатокутник» виділені лише загальні ознаки, властивим всім багатокутникам, ті ж, які відрізняють один вид багатокутника від іншого, відкинуті.

У науковому пізнанні такого роду поняття, називані абстрактними, мають істотне значення, дозволяючи класифікувати об'єкти, порівнювати їх між собою, ототожнювати або розрізняти й т.д.

Узагальнення об'єктів і явищ за допомогою поняття збільшує пізнавальну цінність мислення, по-перше, тому, що більше загальні поняття дають можливість подумки оглянути й вивчити більше велику множину об'єктів, а по-друге, тому, що, відкидаючи індивідуальні ознаки об'єкта, ми тим самим виявляємо загальні, більше стійкі ознаки, які раніше в рамках більше вузьких понять залишалися нерозкритими.

Інший спосіб узагальнення дозволяє утворювати так звані конкретні поняття. Особливість його полягає в тому, що узагальнення тут відбувається не тільки шляхом виділення загальних властивостей об'єктів, але й шляхом збереження в понятті його особливих і одиничних ознак.

Так, наприклад, у математичному понятті «похідна» звичайно виступає необхідність поряд з виділенням загальних властивостей, властивим всім видам похідній, указати й специфічні властивості цього поняття: похідна безперервної функції, похідна трансцендентної функції й т.п.

Таким чином, на відміну від сприйняття й уявлення, поняття фіксує в нашій свідомості тільки істотні для цього випадку ознаки й властивості (ознаки цього поняття).

Отже, поняття - це форма мислення, у якій відбиті істотні (відмітні) властивості об'єктів вивчення.

Поняття вважається правильним, якщо воно вірно відбиває реально існуючі об'єкти.

Кожне поняття може бути розглянуте по змісту й по об'єму. Зміст поняття - це множина всіх істотних ознак даного поняття. Об'єм поняття - множина об'єктів, до яких застосовне дане поняття.

Так, для поняття «паралелограм» зміст буде представлений такими, наприклад, властивостями: 1) протилежні сторони конгруентні; 2) протилежні кути конгруентні, 3) діагоналі в крапці перетинання діляться навпіл і т.д.

Об'єм поняття «паралелограм» представлений множиною таких чотирикутників, як: 1) властиво паралелограми; 2) ромби; 3) прямокутники; 4) квадрати

Наведений приклад показує, що зміст поняття - це множина ознак поняття, з яких кожний необхідний, а все разом достатнє для встановлення поняття.

Зміст поняття жорстко визначає його об'єм, і, навпаки, об'єм поняття цілком визначає його зміст. Таким чином, зміна в змісті поняття спричиняє зміна в його об'ємі, і навпаки. Між змістом і об'ємом поняття існує в деякому змісті зворотна залежність. Так, наприклад, якщо збільшити зміст поняття паралелограм (діагоналі взаємно перпендикулярні), те відразу зменшиться його об'єм (залишаються лише ромб і квадрат); якщо зменшити зміст цього поняття (зажадати паралельності тільки двох протилежних сторін), збільшиться його об'єм (до названих чотирикутників додасться трапеція).

Якщо, наприклад, збільшити об'єм поняття «скорочення дробі», включивши його в поняття «тотожні перетворення» (розкладання на множники або що складаються, скорочення дробі й т.д.), то зміст цього поняття зменшиться (можливість ділення компонентів вираження на те саме число зникає для більшості тотожних перетворень).

У процесі узагальнення об'єм поняття стає ширше, а його зміст - більше вузьким.

У процесі спеціалізації поняття - навпаки: звужується об'єм поняття, але розширюється його зміст. Варто помітити, що розглянута залежність між змістом і об'ємом деякого поняття має місце лише тоді, коли в процесі зміни змісту об'єм одного поняття є підмножиною об'єму іншого поняття.

Більша роль у процесі формування понять належить мовному й символічному їхньому вираженню. Слово називають носієм поняття. Слово, що позначає строго певне поняття якої-небудь галузі науки або техніки, називається науковим терміном. Наприклад, слово «ромб» - математичний термін. При цьому необхідно, щоб символіка й мова (і зокрема, термін) виражали дане поняття однозначно. У якості контр прикладу можна привести слова, називані омонімами. Одне з них - відомий шкільний термін «корінь», якому можна розуміти в різних змістах (корінь рівняння, корінь рослини, корінь квадратний із числа, «корінь зла»). У цьому випадку слово відіграє негативну роль: поняття не виражається їм однозначно.

З іншого боку, існують різні терміни, що виражають те саме поняття, причому зовсім однозначно ( слова-синоніми). Наприклад, термін «квадрат» можна замінити термінами «правильний чотирикутник», «ромб із прямим кутом» і т.д. У цьому випадку роль слова позитивна: воно уточнює поняття.

Процес розкриття змісту поняття складається в перерахуванні його ознак. Перерахування необхідних і достатніх ознак поняття, зведених у зв'язну пропозицію (мовне 7 або символічне), є визначення поняття (математичного об'єкта). Кожний з ознак, що входять у визначення, повинен бути необхідний, а всі разом - достатні для встановлення даного поняття. У визначенні повинне розкриватися основний зміст поняття. У ньому не повинне втримуватися зайвих слів; не повинне бути й пропусків. От приклад правильного визначення поняття паралелограма: «Паралелограм - чотирикутник, у якого дві протилежні сторони попарно рівні й паралельні»; а от контр приклади визначень поняття «квадрат»: 1) квадрат - паралелограм, у якого всі кути прямі (недостатнє); 2) квадрат - ромб із прямим кутом (правильне); 3) квадрат - паралелограм з рівними сторонами й із чотирма прямими кутами (надлишкове).

Необхідно, щоб учні розуміли, що ніякі визначення не доводяться. Разом з тим у процесі навчання математику можна (і корисно) мотивувати те або інше визначення поняття. Хоча визначення поняття - суть умовна угода, але воно вибирається розумно, виходячи з реальних властивостей того або іншого поняття або відповідно до тих або інших вимог (при введенні нового поняття). Для деяких понять їхнього визначення і їхні терміни, що виражають, виглядають цілком природними (трикутник - багатокутник із трьома внутрішніми кутами); для інших необхідні мотивування або - пояснення.

Деякі первісні математичні поняття не визначаються (або побічно визначаються через аксіоми). Наприклад, поняття множина - невизначуване поняття.