Сторінка
1

Вирівнювальні обчислення в тріангуляції

Загальні положення з вирівнювання геодезичних мереж корелатним методом

В даний час існує багато методів вирівнювання геодезичних мереж. Найбільш поширеним в даний час є вирівнювання мереж корелатним або параметричним методом.

Розглянемо суть вирівнювання геодезичних вимірів корелатним методом. Нехай в геодезичній мережі виконано n вимірів, які приводять до виникнення r умов (при цьому r<n). Допустимо, що найймовірніші значення виміряних величин М1′, М2′ ., Мn′ будуть М1, М2, ., Мn. Нехай в даній мережі можна скласти r рівнянь, які мають вигляд:

Якщо в рівняння (2.48) замість найймовірніших значень виміряних величин підставити їх виміряні, то отримаємо:

де W1, W2, ., Wr — вільні члени (нев’язки).

Представимо, що кожне найймовірніше значення і виміряної величини можна виразити:

Тоді система рівнянь матиме вигляд

Розкладаючи кожне із рівнянь системи (2.51) в ряд Тейлора, маємо:

Введемо позначення для першого рівняння

; другого — ; останнього — .

З врахуванням наших позначень та формул системи рівнянь (2.52) система рівнянь (2.52) прийме вигляд:

Розв’язок задачі вирівнювання полягає в знаходження поправок V1, V2,…,Vn до виміряних значень величин M´1, M´2,…, M´n. Однак, труднощі у вирішення даної задачі полягають в тому, що кількість невідомих n більша кількості рівнянь r (n>r). Розв’язок системи (2.53) виконують, використовуючи невизначені множники Лагранжа (колерати) ki. З цією метою складають нормальні рівняння, які мають вигляд:

Із розв’язку рівнянь системи (2.54) знаходимо колерати ki, а потім за відомими формулами поправки

Вирівнювання тріангуляції колератним методом

Нагадаємо, що тріангуляція — це метод побудови геодезичної мережі за допомогою трикутників, в яких виміряні тільки кути. Поряд з цим, для побудови мережі використовують такі фігури як геодезичний чотирикутник та центральну систему (рис. 2.40).

Рис. 2.37. Типові фігури в тріангуляції: а) геодезичний трикутник, в) центральна система

Для обчислення координат пунктів геодезичної мережі необхідні вихідні дані. Такими вихідними даними можуть бути координати двох суміжних пунктів А(XA, YA) і B(XB, YB), або координати одного пункту А(XA, YA), вихідна сторона SA-B та вихідний дирекційний кут aAB (рис. 2.38).

Рис. 2.38. Вихідні дані для обчислення координат пунктів: а) координат двох вихідних пунктів, в) координати одного вихідного пункту, вихідна сторона та вихідний дирекційний пункт

Мережу тріангуляції, у якій є тільки необхідні вихідні називають вільною. Якщо в мережі є надлишок вихідних даних, то вона є невільною. Наприклад, мережа тріангуляції (рис. 2.39) є невільною, так як в ній є додаткові координати пункту F(XF, YF).

Рис. 2.39. Невільна мережа тріангуляції

Зауважимо, що при вирівнюванні тріангуляцій виникає задача обчислення сторін трикутників мережі. Для цього використовують теорему синусів. Наприклад, для отримання значення сторони ВС, коли відома сторона SA-B та кути в ABC (рис. 2.39) матимемо:

Звідки