Сторінка
8

Прикладна спрямованість шкільного курсу математики

До 40-х рр. 19 ст. висновки динамічної моделі, об'єктами якої були видимі планети, ввійшли в суперечність з накопиченими на той час спостереженнями. Рух Урана, що спостерігався, ухилявся від теоретично обчисленого руху. У.Левер'є в 1846 р. доповнив систему планет, що спостерігаються, новою гіпотетичною планетою, яку назвав Нептуном, і, користуючись новою математичною моделлю Сонячної системи, визначив масу і закон руху нової планети так, що у новій системі суперечності щодо руху Урана було знято. Планету Нептун було відкрито в місці, визначеному У.Левер'є. Анало- гічним методом, використовуючи розбіжності в теоретичній траєкторії Нептуна і траєкторії, що спостерігалася, у 1930 р. було відкрито планету Плутон.

Метод математичного моделювання, що зводить дослідження явищ зовнішнього світу до математичних задач, займає провідне місце серед інших методів дослідження, особливо в зв'язку з появою ЕОМ. Він дає змогу проектувати нові технічні засоби, що працюють в оптимальних режимах, для розв'язування складних задач науки і техніки; проектувати нові явища. Математичні моделі виявили себе як важливий засіб керування. Вони застосовуються в різних галузях знань, стали необхідним апаратом в економічному плануванні та є важливим елементом автоматизованих систем керування.

Задачі на відсоткові розрахунки

Основними задачами на відсотки є:

знаходження відсотка від даного числа;

знаходження числа за його відсотком;

знаходження відсоткового відношення двох чисел;

відсоткові обчислення, які пов'язані з фінансовими операціями.

З першими трьома видами задач ви добре ознайомлені. Розглянемо прикладні задачі четвертого виду. У процесі їх розв'язування використовують спеціальні назви величин:

грошова сума, внесена до ощадного банку, називається початковим капіталом (сумою);

число, яке показує, на скільки відсотків збільшується (зменшується) початковий капітал за один рік, називається відсотковою таксою;

прибуток, одержаний через рік з початкового капіталу, називається відсотковими грішми, або простими відсотками;

суму початкового капіталу разом з відсотковими грішми називають нарощеним капіталом.

Задача 1. Щомісячна оплата за радіо становить 4 гри. Абонент прострочив оплату на 25 днів. Яку суму він має сплатити, якщо за кожний прострочений день нараховується пеня у розмірі 1%?

Розв'язання. Відсоткові гроші становлять: ·1·25 (грн.).

Загальна сума (нарощене число) оплати через 25 днів разом з

пенею становить: 4 += 4 + 1 = 5 (грн.).

Задача 2. У банк, що виплачує 16% річних, покладено 600 грн. .

У яку суму перетвориться цей вклад через 2 роки?

Розв'язання. Відсоткові гроші за рік становитимуть:

•16 = 96 (грн.)

Нарощений капітал через рік становитиме:

600 + 600 • 0,16 = 600 • (1 + 0,16) = 600 • 1,16 (грн.),

через два роки:

600 · 1,16 += 600 • 1,16 • (1 + 0,16) = 600 • 1,162=

=807,36 (грн.).

Величини, що використовуються у таких задачах, позначають:

початковий капітал а0;

відсоткова такса р % ;

час обігу грошей у банку t;

відсоткові гроші ;

нарощений капітал = а0 + .

Якщо відсотки нараховують від початкового капіталу, то вони називаються простими (див. задачу 1).

Якщо відсотки нараховують від нарощеного капіталу, то вони називаються складними (див. задачу 2).

Складними відсотками, як правило, користуються при фінансових розрахунках, при підрахунку народонаселення, оцінці якісних змін у рослинному або тваринному світі тощо.

Розрізняють такі чотири види задач на відсоткові обчислення, пов'язані з фінансовими операціями:

знаходження відсоткових грошей Р ;

знаходження відсоткової такси р% ;

знаходження часу t;

знаходження початкового капіталу а0.

За означенням відсоткова такса показує, що за один рік відсоткові гроші становлять початкового капіталу.

Звідси маємо, що початковий капітал а0 гривень за рік дає таку

величину відсоткових грошей:

·=(грн).

За t років відсоткові гроші з того ж капіталу і при тій же відсотковій таксі зростають у t разів. Звідси

= . (1)

За формулою простих відсотків можна знайти будь-яку з чотирьох величин за даними значеннями трьох решти.

Зазначимо, що у формулі (1) = час t має бути виражений

у роках. Якщо ж у задачі час виражений у місяцях і днях, то їх потрібно попередньо перевести в роки.

Замінюючи у формулі = а0 + через його значення, дістанемо

= а0 + (2)

Формули (1), (2) є моделями прикладних задач. Користуючись ними, можемо розв’язати будь-яку задачу на прості відсотки.

Задача 3. На якій термін банк надав позику в розмірі 4800 грн., якщо, повертаючи кредит, позичальник сплатив 9150 грн., а річна відсоткова такса дорівнює 25 %?

Розв’язання. Розв’яжемо цю задачу за формулою (2):

= 9150, а0 = 4880, р = 25 %.

9150 = 4880 · ( 1 + );

= ;

= .

4880t = 17080, t = 3,5 (роки).

Розглянемо задачі на знаходження складних відсотків.

Задача 4.Продуктивність праці на заводі щороку збільшується на однакову кількість відсотків. За три роки вона зросла на 33,1 %. На скільки відсотків щороку збільшувалася продуктивність праці?

Розв’язання. Нехай продуктивність праці спочатку дорівнює а0 і щороку збільшується на р%, тому через рік продуктивність праці збільшилась на · і становить :