Сторінка
6
Площу 
другого квадрата зі стороною 1,5 а можна знаходити за формулою = (1.5 а)2 = = 2,25 а2. Отже, = 2,25 а2 = 2,25
.
Виходить, що площа другого квадрата в 2,25 раза більша за площу першого квадрата.
3. Дамо відповідь на запитання задачі.
Ми розв'язали математичну задачу й отримали результат: площа другого квадрата більша від площі першого в 2,25 раза. Звернемося знову до первісної задачі з полями. Перший квадрат — це математична модель першого поля, другий квадрат — математична модель другого поля. Отже, площа більшого поля в 2,25 раза перевищує площу меншого поля. Відповідно, при однаковій урожайності врожай, який фермер збере на другому полі, буде в 2,25 раза більший, ніж на першому.
Відповідь: Врожай на більшому полі перевищує врожай на меншому полі у 2,25 раза.
Звичайно, у житті на розрахунок планованого врожаю впливають ще й такі фактори, як погодні умови, втрати при зборі врожаю і багато інших. У нашій задачі ми припускали, що ці умови, як і врожайність, для двох полів однакові, проте у реальності так буває не завжди. Більш досконала математична модель повинна враховувати всі ці фактори. Такі складні моделі існують, і їх використовують у сучасних господарствах. А нашою метою є на прикладі цієї простої задачі показати, з яких трьох етапів складається математичне моделювання будь-якого процесу.
На І етапі, на якому ми переводили нашу задачу на мову математики, відбувалося створення математичної моделі.
На II етапі відбувалося розв'язування математичної задачі, або, як ще кажуть, дослідження математичної моделі.
На III етапі ми повернулися до нашої первісної задачі і використовували результати II етапу для отримання її розв'язку. Таке «пристосовування» результатів розв'язування математичної задачі до розв'язування прикладної задачі називається інтерпретацією результатів.
Яка користь від математичного моделювання?
При складанні математичної моделі, як і при створенні інших моделей, ми відволікаємось від несуттєвих для конкретної задачі властивостей об'єктів, від другорядних умов, що не виливають на розв'язок задачі. Коли задачу переведено на мову математики, то маємо справу не з «машинами», «ділянками землі» і т. п., а з числами, геометричними фігурами, формулами, рівняннями, тобто з математичними об’єктами.
У реальному житті виникає дуже багато різноманітних задач, що, на перший погляд, не мають між собою нічого спільного. Однак часто для їхнього розв’язання можна використовувати одну й ту саму математичну модель. Отже, уміння працювати з однією математичною моделлю дає змогу знаходити розв’язки багатьох прикладних задач. Наприклад.
Задача 4. Таня заплатила за 3 булочки і 1 батон 3 грн. 60 коп. Батон коштує 1 грн. 20 коп. Скільки коштує булочка?
Запишемо умову задачі математичною мовою. Нехай x – вартість булочки. Тоді
3 x – вартість трьох булочок. За три булочки й один батон по 1,2 грн. Таня заплатила 3,6 грн. Складемо рівняння: 3 x + 1,2 = 3,6.
Щоб отримати відповідь на поставлене в задачі запитання, досить розв’язати це рівняння.
Задача 5. Машина, у якій було 3,6 т. піску, відвантажувала на кожен з трьох будівельних об’єктів однакову кількість піску. Після цього в машині залишилося 1,2 т. піску. Скільки піску було відвантажено на кожен об’єкт?
Нехай x – кількість піску, відвантаженого на кожен об’єкт. Тоді 3 x – кількість відвантаженого піску на три об’єкти. Побудуємо математичну модель:
3 x + 1,2 = 3,6.
Як бачимо, математичною моделлю для задач 4 і 5 є та сама математична задача: «Розв’язати рівняння 3 x + 1,2 = 3,6»
Побудова математичної моделі — перший і дуже відповідальний етап розв'язування прикладної задачі. Неправильна математична модель веде до хибної відповіді. В цьому можна впевнитися на прикладі задачі 5.
Задача 5. 60 робітників побудують тунель за 210 днів. За скільки днів побудують тунель 40 робітників?
Якщо її розв'язувати за допомогою пропорції, з відповіді виходить, що 40 робітників зроблять тунель навіть швидше, ніж 60, —усього за 140 днів. Звичайно, можна припустити, що 20 робітників самі нічого не роблять і іншим заважають працювати, і якщо їх відсторонити від роботи, то робота піде швидше. Однак скоріше за все неправильно була складена математична модель. Варто спробувати ще раз уважно розібратися в задачі і скласти для неї придатну математичну модель.
Математичне моделювання дає змогу не тільки обчислити конкретне значення якоїсь шуканої величини, а й дослідити самі об'єкти або процеси, про які йдеться в задачі; розглянути інші можливі варіанти значень шуканої величини, якщо будуть мінятися дані в умові задачі.
Це стає можливим, наприклад, якщо при складанні математичної моделі використовується одна чи кілька формул.
Запропонований методичний матеріал для ознайомлення учнів з математичним моделюванням є спробою наблизити процес навчання математики до вимог часу та запитів суспільства. Один із головних висновків, які були зроблені за результатами міжнародних досліджень ТІМ55, РІ5А-2000 та РІ5А-2003, полягає в невідповідності моніторингових завдань до російського (також і українського) стандарту математичної підготовки учнів. Така розбіжність пов'язана, з одного боку, з традиційно для пострадянського простору посиленою увагою до академічної складової змісту навчання математики, а з іншого боку — з недооцінкою ролі прикладної спрямованості навчання в сучасній освіті. У деяких розвинених країнах світу існує більш прагматичний підхід до шкільної математичної освіти, який реалізується в цілеспрямованому орієнтуванні учнів на застосування знань з математики. Безумовно, кожна національна освітня система має свої особливості, зумовлені не в останню чергу традиціями та надбаннями попередніх поколінь. Але на сьогоднішній день на тлі потужних міжнародних інтеграційних процесів, що відбуваються майже в усіх галузях людської діяльності, неможливо не враховувати як сучасні тенденції в освіті, так і позитивний досвід інших країн. Реалізація у шкільному курсі математики основної школи окремої змістової лінії «математичне моделювання» без приниження базової теоретичної підготовки учнів допоможе навчати учнів застосуванню знань з математики. Математичне моделювання як елемент математичної грамотності виступає засобом реалізації прикладної спрямованості навчання математики, посилює та збагачує фундаментальну математичну освіту в межах, що відведені основною школою. Не буде перебільшенням стверджувати, що наявність у шкільній математичній освіті такого прийому діяльності, як математичне моделювання, є ознакою сучасного підходу в навчанні математики, проявом якісної функціональної математичної підготовки учнів.
Серед сучасних математичних методів наукового дослідження найбільшого поширення набув метод математичного моделювання. Він використовується також як метод навчального пізнання у вищій і в загальноосвітній школі.