Сторінка
7

Прикладна спрямованість шкільного курсу математики

Фундаторами сучасної методології математичного моделювання були В. М. Глушков, В.Б. Гнеденко, А. М. Колмогоров, О. А. Самарський, А. М. Тихонов, А. Ф. Турбін, В. С. Королюк, В. М. Остапенко та інші. Не дивно, що названі вчені, розробляючи методи математичного моделювання і їх використання в різних галузях науки і техніки, прийшли в 70-х — 80-х роках до думки про необхідність навчання математичного моделювання студентів університетів, учнів загальноосвітньої школи. Розвиток інформацій основний зміст сучасної математики, а з другого — її прикладні можливості, методологічні проблеми й історичний процес її розвитку».

А. М. Колмогоров, розглядаючи питання про сучасну математику та навчання її в школі, підкреслював: «Дивлячись у майбутнє, необхідно вже зараз будувати шкільний курс так, щоб учні були підготовлені до сприйняття нових аспектів прикладної математики . . Задача полягає в тому, щоб уже в школі переконливо показати, що «сучасна математика» дає змогу будувати математичні моделі реальних ситуацій і процесів, що вивчаються в застосуваннях, не тільки не гірше, але логічно послідовніше і простіше, ніж традиційна».

Видатні вчені до прикладної математики відносили ту частину математики, в якій вивчаються математичні структури, які моделюють ті чи інші реальні явища, тобто прикладна математика є наукою, що вивчає реальні явища математичними методами.

На сучасному етапі розвитку шкільної математичної освіти, в умовах особистісно орієнтованого навчання, рівневої та профільної диференціації, проблема навчання майбутніх учителів математики математичного моделювання, навичкам і вмінням такої роботи з учнями середньої школи набула особливої гостроти.

Формування вмінь математичного моделювання, перерахованих у галузевих стандартах — спільна задача всіх математичних курсів, яка в рамках кожної математичної дисципліни може мати свої ефективні та специфічні шляхи реалізації. Ці шляхи відповідно до концепції базової математичної освіти в Україні, Державних стандартів освіти також знайшли своє відображення у нових програмах математичних курсів та побудованих на їх основі робочих програмах викладачів.

Математичне моделювання як метод пізнання навколишнього світу

Математична модель - наближений опис якого-небудь класу явищ зовнішнього світу, виражений за допомогою математичної символіки. Аналіз математичної моделі дозволяє проникнути в сутність досліджуваних явищ. Математична модель — могутній метод пізнання зовнішнього світу, а також прогнозування і керування. Процес математичного моделювання, тобто вивчення явища за допомогою математичної моделі, можна поділити на чотири етапи.

Перший етап — формулювання законів, що пов'язують основні об'єкти моделі. Цей етап вимагає широкого знання фактів, що стосуються досліджуваних явищ, і глибокого розуміння їхнього взаємозв'язку. Ця стадія завершаться записом сформульованих якісних уявлень про зв'язки між об'єктами моделі у математичних термінах.

Другий етап — дослідження математичних задач, до яких приводять математичні моделі. Основним питанням тут є розв'язання прямої задачі, тобто одержання в результаті аналізу моделі вихідних даних (теоретичних висновків) для подальшого зіставлення їх з результатами спостережень досліджуваних явищ. На цьому етапі важливу роль набувають математичний апарат, необхідний для аналізу математичної моделі, і обчислювальна техніка — могутній засіб для одержання кількісної вихідної інформації як результату розв'язування складних математичних задач. Часто математичні задачі, що виникають на основі математичної моделі різних явищ, бувають однаковими (наприклад, основна задача лінійного програмування відображає ситуації різної природи). Це дає підставу розглядати такі типові математичні задачі як самостійний об'єкт, абстрагуючись від досліджуваних явищ.

Третій етап — з'ясування того, чи задовольняє прийнята гіпотетична модель критерії практики, тобто з'ясування питання про те, чи узгоджуються результати спостережень з теоретичними висновками моделі в межах точності спостережень. Якщо модель була цілком визначена (усі параметри її були задані), то визначення відхилень теоретичних висновків від спостережень дає розв'язання прямої задачі з наступною оцінкою відхилень. Якщо відхилення виходять за межі точності спостережень, то модель не можна прийняти. Часто в процесі побудови моделі деякі її характеристики залишаються не визначеними. Задачі, у яких визначаються характеристики моделі (параметричні, функціональні) так, щоб вихідну інформацію можна було порівняти в межах точності спостережень з результатами спостережень досліджуваних явищ, називаються оберненими задачами. Якщо математична модель така, що ні при якому виборі характеристик ці умови не можна задовольнити, то модель непридатна для дослідження розглянутих явищ. Застосування критерію практики до оцінки математичної моделі дозволяє робити висновок про правильність положень, які лежать в основі моделі (гіпотетичної), що підлягає вивченню. Цей метод є єдиним методом вивчення недоступних нам безпосередньо явищ макро- і мікросвіту.

Четвертий етап — наступний аналіз моделі в зв'язку з нагромадженням даних про досліджувані явища і модернізація моделі. У процесі розвитку науки і техніки дані про досліджувані явища усе більше і більше уточнюються і настає момент, кати висновки, що одержують на основі існуючої математичної моделі, не відповідають нашим знанням про явите. Таким чином, виникає необхідність побудови нової, досконалішої математичної моделі. Типовим прикладом, що ілюструє характерні етапи побудови математичної моделі, є модель Сонячної системи. Спостереження зоряного неба почалися в далеку давнину. Первинний аналіз цих спостережень дозволив виділити планети з усього різноманіття небесних світил. Таким чином, першим кроком було виділення об'єктів вивчення. Другим кроком стало визначення закономірностей їхніх рухів. (Узагалі визначення об'єктів і їх взаємозв'язків є вихідними положеннями — «аксіомами» — гіпотетичної моделі.) Моделі Сонячної системи в процесі свого розвитку пройшли через ряд послідовних удосконалень. Першою була модель Птолемея (2 ст. н.е.), яка виходила з положення, що планети і Сонце рухаються навколо Землі (геоцентрична модель), і описувала ці рухи за допомогою правил (формул), що багаторазово ускладнювалися в процесі нагромадження спостережень. Розвиток мореплавання поставив перед астрономією нові вимоги до точності спостережень. М.Коперник у 1543 р. запропонував принципово нову основу законів руху планет, яка базувалася на тому, що планети обертаються навколо Сонця по колу (геліоцентрична система). Це була якісно нова (але не математична) модель Сонячної системи. Однак не існувало параметрів системи (радіусів кіл і кутових швидкостей руху), що приводять кількісні висновки теорії в належну відповідність зі спостереженнями. Таким чином М.Коперник був змушений уводити виправлення в рухи планет по колу (епіцикли).

Наступним кроком у розвитку математичної моделі Сонячної системи були дослідження Й.Кеплера (початок 17 ст.), який сформулював закони руху планет. Положення М.Коперника та Й.Кеплера давали кінематичний опис руху кожної планети окремо, не враховуючи причин, що обумовлюють ці рухи. Принципово новим кроком були роботи І.Ньютона, що запропонував у другій половині 17 ст. динамічну модель Сонячної системи, яка базувалася на законі всесвітнього тяжіння. Динамічна модель узгоджується з кінематичною моделлю, запропонованою Й.Кеплером, оскільки з динамічної системи двох тіл «Сонце — планета» випливають закони Кеплера.