Сторінка
5
Цікаві прикладні задачі можна запропонувати учням 11-го класу під час вивчення теми «Застосування похідної».
Задача 11. Зрошувальний канал має форму рівнобічної трапеції, бічні сторони якої дорівнюють меншій основі. Для якого кута нахилу бічних сторін трапеції переріз каналу буде мати найбільшу площу?
Задача 12. Витрати на паливо, що необхідне для руху океанського лайнера, пропорційні до куба його швидкості та становлять 20 у. о. за 1 год при швидкості 10 вузлів (1 вузол = = 1852 м/год). Знайти найекономічнішу швидкість лайнера за тихої погоди.
Враховуючи сучасні суспільні умови, завдання реалізації прикладної спрямованості шкільного курсу математики є актуальним. Його розв'язування залежить від двох чинників: педагогічної майстерності вчителя і вмінь учнів застосовувати метод математичного моделювання для розв'язування спочатку навчальних, а потім і реальних проблем.
Математичне моделювання при розв’язуванні задач
Моделювання як спосіб пізнання та дослідження застосовується у шкільному навчанні вже у 1 класі при вивченні предметів природничого циклу, праці, творчості. З переходом учнів до основної школи настає час ознайомити їх з математичним моделюванням як прийомом діяльності при дослідженні реальних об’єктів і процесів та при розв’язуванні задач прикладного характеру.
Шкільний вчитель – ключова фігура в освіті: він і дослідник і практик одночасно. Тому актуальною задачею є створення навчальних засобів, орієнтованих як на учня, так і на вчителя, які враховують не тільки рівень розвитку суспільства, а й реальності сучасної школи.
Метою перших кроків учителя є прищепити учням навички математичного моделювання. Навчити правильно виконувати всі його етапи. Показати його застосування для розв’язування прикладних задач. Нижче пропонуються методичні матеріали для факультативних занять, покликані допомогти в цьому вчителю. Частина завдань може здатися легкими, такими, що звичайно розв’язуються в один чи два прийоми. З деякими видами задач учні зустрінуться вперше. Рекомендуємо навіть при розв'язуванні простих задач використовувати математичне моделювання. Такий підхід підготує учнів до розв'язування більш складних завдань.
Що таке математичне моделювання?
Слово «модель» утворилося від латинського слова «тодlіит», що означає «міра», «образ», «засіб». Ми використовуємо модель як образ (зразок) чогось, за її допомогою ми маємо можливість щось досліджувати. Моделювання можна розуміти як «створення образа» і його «дослідження», «вивчення». З моделями ми зустрічаємося на кожному кроці: фотографія людини — це її модель, глобус — це модель Землі, іграшки, що оточують дитину, — теж моделі чогось. Це приклади «фізичних» моделей.
Створення моделей та їх дослідження засобами математики називається математичним моделюванням. Чотириста років тому Галілео Галілей стверджував, що «книга природи написана мовою математики». Математичне моделювання використовується як один із самих зручних і ефективних засобів дослідження природи, світу, що оточує нас. За допомогою математики можна створити модель і окремого матеріального об'єкта (наприклад, колеса автомобіля), і складного економічного чи соціального процесу (наприклад, процесу впливу кредитної політики Національного банку на економічну ситуацію в країні), і навіть таких неймовірно далеких від нас природних процесів, як народження і загибель зірок у далеких галактиках.
Щоб за допомогою математики вміти описувати і досліджувати такі об'єкти або процеси, необхідно добре знати не тільки математику, а й фізику, хімію, біологію, інші галузі знань. Необхідно вміти користуватися законами Природи, здоровим глуздом і своїм власним досвідом.
Звичайно, задачі, що виникають у життєвих ситуаціях і стосуються реальних об'єктів або процесів, тобто прикладні задачі, вимагають переформулювання їх мовою математики. Таке переформулювання будемо називати математичним моделюванням і, відповідно, постановку прикладної задачі в математичних термінах називатимемо математичною моделлю цієї задачі. Наприклад:
Задача 1. Скільки ходок повинна зробити машина вантажопідйомністю 5 т, щоб вивезти 23 т піску.
Математична модель задачі:
Знайти найменше натуральне число, що дорівнює або більше частки від ділення числа 23 на число 5.
При складанні математичної моделі прикладної задачі виникає необхідність створення математичних моделей реальних об'єктів, про які йдеться в задачі.
Задача 2. Потрібно визначити, скільки кахлі в розміром 32 х 32 см необхідно купити для того, щоб викласти на стіну розмірами 1,8 х 2,4 м.
Для розв'язування цієї задачі реальний об'єкт — кахлі — заміняємо його математичною моделлю — квадратом з довжиною сторони 0,32 м, а математичною моделлю стіни може слугувати прямокутник довжиною 2,4 м і шириною 1,8 м. Математична задача в цьому випадку має такий вигляд:
Якою найменшою кількістю квадратів з довжиною сторони 0,32 м можна цілком покрити прямокутник довжиною 2,4 м і шириною 1,8 м?
Математична модель реального об'єкта або процесу може бути представлена у вигляді формули, таблиці, діаграми, геометричної фігури, пропорції тощо. Яка з форм представлення математичної моделі доцільна для розв'язування тієї чи іншої задачі, залежить від самої задачі (тобто від цілей дослідження конкретного об'єкта або процесу).
Три етапи математичного моделювання
Для розв'язування прикладної задачі необхідно зробити кілька кроків, а саме:
Перевести умову прикладної задачі на мову математики.
Розв'язати отриману математичну задачу.
Скористатися результатами розв'язання математичної задачі, щоб знайти правильний розв'язок.
Такий підхід до розв'язування задач називається методом математичного моделювання. Дуже часто, розв'язуючи прикладні задачі на уроках математики, ми не замислюємося над послідовністю цих кроків, «змішуємо» їхнє виконання, а кожен з них має свої особливості і вимагає уваги. Усі наступні задачі будемо розв'язувати, використовуючи покроковий підхід.
Задача 3. У фермера є дві однакові за врожайністю ділянки землі у формі квадратів, причому сторона одного з них у 1,5 раза більша, ніж іншого. У скільки разів урожай з більшого поля перевищує врожай з меншого?
1. Переведемо цю задачу на мову математики.
Йдеться про дві ділянки землі у формі квадратів, тобто за математичну модель кожного поля можна взяти квадрат. Нехай у меншого квадрата сторона дорівнює а, тоді в більшого квадрата сторона дорівнює 1,5 а.
За умовою, врожайність на цих двох полях однакова. Тоді, щоб дізнатися, у скільки разів урожай на другому полі більший від врожаю на першому полі, необхідно обчислити, у скільки разів площа другого поля більша за площу першого поля. Отже, наша задача зводиться до такої математичної задачі.
Визначити, у скільки разів площа квадрата зі стороною 1,5 а більша за площу квадрата зі стороною а.
2. Розв'яжемо цю математичну задачу. Площа 
першого квадрата зі стороною а обчислюється за формулою = а2.