Сторінка
13

Вивчення елементів стереометрії у курсі геометрії 9 класу

Рис. 25

Зобразіть прямий паралелепіпед і проведіть його діагоналі.

Зобразіть пряму трикутну призму. Проведіть діагональ бічної грані.

20. Побудуйте зображення прямої трикутної призми. Сполучіть кінці сторони нижньої основи та протилежну вершину верхньої основи. Яка фігура утворилася в перерізі?

Зобразіть круговий циліндр. Позначте на зображенні радіус нижньої основи.

Зобразіть циліндр та побудуйте зображення його осьового перерізу.

Побудуйте зображення циліндра. Позначте точку на колі верхньої основи і точку на колі нижньої основи. Сполучіть їх відрізком.

24. Зобразіть конус. Побудуйте на зображенні діаметр основи.

На зображенні конуса побудуйте зображення його осьового перерізу.

Побудуйте зображення конуса. Позначте на колі основи конуса точку. Зобразіть твірну конуса, яка містить вибрану точку.

Навички будувати зображення геометричних тіл відпрацьовуються під час подальшого ознайомлення учнів з многогранниками та тілами обертання.

Вивчаючи систематичний курс планіметрії, з метою пропедевтики стереометричних знань велику увагу слід приділити задачам на обчислення лінійних елементів геометричних тіл, які є елементами плоских фігур, за даними розмірами інших елементів і мір кутів цих тіл, а також задачам на встановлення залежності між лінійними елементами та площами плоских фігур, поверхнями та об'ємами геометричних тіл. Учні вчаться знаходити на зображеннях геометричних тіл плоскі фігури та, використовуючи відомості з планіметрії, обчислювати необхідні величини.

Така ілюстрація тверджень планіметрії на геометричних тілах, по-перше, розширює знання учнів про ці тіла, по-друге, значно полегшує засвоєння учнями відповідного планіметричного матеріалу, по-третє, досить сприятливо відбивається на розвитку просторових уявлень учнів, дає змогу здійснювати «вихід» за межі площини. Оскільки формування обчислювальних навичок і вмінь на даному етапі навчання вже не є його основною метою, то там, де це необхідно, рекомендуємо користуватися калькулятором.

Наведемо приклади таких задач.

У трикутній піраміді РАВС АРС=ВРС, АСР=ВСР. Скільки рівнобедрених трикутників серед її граней?

У трикутній піраміді PАВС РВА=90°, РВС=90°. Нехай BA=ВС. Доведіть, що РА=РС.

Основою піраміди PABC є рівнобедрений трикутник АВС (АB=ВС). ЇЇ бічні ребра рівні. Нехай MN – середня лінія основи, паралельна АС. Доведіть рівність трикутників РВМ і РВN.

Дано зображення куба. Сполучіть деякі його вершини так, щоб одержати рівносторонній трикутник.

Довжина ребра куба дорівнює 10 см (рис. 26). Обчисліть довжину діагоналі куба.

Рис. 26

32. У прямокутному паралелепіпеді ABCDA1BlClDl АВ=5 дм, DD1=2 дм, B1C1=1 дм. Знайдіть B1D.

33. Основою прямої призми ABCDA1BlClDl є паралелограм ABCD зі сторонами 4 см і 8 см, кут BAD дорівнює 60°. Знайдіть діагоналі призми, якщо її висота 6 см.

Знайдіть діагональ прямокутного паралелепіпеда, висота якого дорівнює 12, а сторони основи 8 і 6.

Знайдіть діагональ прямокутного паралелепіпеда, сторони основи якого дорівнюють 3 дм і 4 дм, якщо вона утворює з діагоналлю основи кут 60°.

За даними стороною основи а=9 см і бічним ребром b=6 см знайдіть висоту піраміди, основою якої є квадрат. Основа висоти піраміди збігається з центром квадрата.

Основою піраміди є рівносторонній трикутник зі стороною 6 м. Бічні ребра піраміди рівні й утворюють зі сторонами основи кути по 45°. Знайдіть висоту піраміди.

Основою піраміди SABCD є прямокутник ABCD. O – точка перетину його діагоналей; SO – висота піраміди. Обчисліть довжину бічного ребра піраміди, якщо довжина діагоналі дорівнює 14 см, а кут між діагоналлю основи та бічним ребром дорівнює 60°.

Осьовим перерізом циліндра є прямокутник. Обчисліть площу осьового перерізу, якщо діаметр основи циліндра 22 см, а висота циліндра 40 см.

Діагональ осьового перерізу циліндра дорівнює і утворює з площиною основи кут 45°. Знайдіть радіус циліндра.

Знайдіть радіус основи прямого кругового конуса, якщо його твірна 5 м, а висота 4 м.

Твірна конуса дорівнює 3 дм, а площа круга основи дм2. Знайдіть висоту конуса.

Кут при вершині осьового перерізу конуса дорівнює 60°, а твірна дорівнює 2см. Знайдіть площу осьового перерізу.

Назвіть і покажіть на каркасній моделі куба його осі симетрії.

Скільки осей симетрії має прямокутний паралелепіпед?

Що є центром симетрії: а) циліндра; б) кулі?

У 9-му класі пропедевтичне засвоєння знань стереометричних понять завершується розглядом питань на обчислення площ поверхонь та об'ємів многогранників і тіл обертання. У 5–6-х класах учні вже зустрічалися з такими задачами, але під час їх розв'язування вони користувалися готовими формулами.

Після того, як у систематичному курсі планіметрії учні ознайомилися з обчисленням площ плоских фігур, розширили відомості про геометричні тіла, вони набувають чіткіших уявлень про обчислення площ поверхонь та об'ємів многогранників і тіл обертання. Ці уявлення слід закріпити під час розв’язування таких задач.

Обчисліть (з точністю до одиниць) радіус основи і висоту циліндра, площа основи якого дорівнює 50 см2, а бічна поверхня 25 см:.

Бічна поверхня циліндра дорівнює 200 см2. Чи може довжина кола основи дорівнювати 400 см?

Обчисліть об'єм прямої призми, основою якої є рівносторонній трикутник зі стороною 7 мм, а бічне ребро дорівнює 10 мм.

Обчисліть площу повної поверхні прямої призми, основою якої є квадрат зі стороною 3 см, а висота призми 7 см.

Скільки квадратних метрів заліза потрібно для виготовлення бака з кришкою, що має форму прямої призми, основою якої є правильний шестикутник зі стороною 0,6 м, а висота призми 1,2 м? Витрати на шви становлять 5% від площі поверхні бака.

Залізничний насип довжиною 500 м має поперечний переріз у вигляді рівнобічної трапеції з основами 12 м і 8 м, висотою 2,5 м. Скільки тонн землі потрібно для цього насипу? Густина землі 1,3 т/м3.

Подвір’я, що має форму прямокутника зі сторонами 32 м і 80 м, треба обгородити. Висота огорожі 2,5 м. Скільки потрібно для цього кубічних метрів дошок товщиною 2,5 см?

Обчисліть площу повної поверхні піраміди, основою якої є квадрат зі стороною 12 см, а бічні грані – рівні рівнобедрені трикутники з бічною стороною 20 см.

Довжина діагоналі однієї з граней куба дорівнює 6,4 см. Обчисліть об’єм і площу поверхні цього куба.

Обчисліть площу повної поверхні та об’єм циліндра, якщо діаметр його основи дорівнює 12 см, а висота 62 см.

Знайдіть масу десятиметрової труби, виготовленої зі стального листа товщиною 22 мм, якщо його зовнішній діаметр дорівнює 1420 мм. Густина сталі дорівнює 7800 кг/м3.