Сторінка
11

Вивчення елементів стереометрії у курсі геометрії 9 класу

Грані, що лежать у паралельних площинах, називають основами, решту граней називають бічними гранями. Основи – подібні многокутники, бічні грані – трапеції.

З найпростішими тілами обертання учні ознайомлені у 5–6-х класах. У 9-му класі пропонуємо розглядати лише прямий круговий циліндр, прямий круговий конус, зрізаний конус і кулю.

Учні вже мають уявлення про те, як дістати поверхню циліндра обертанням прямокутника навколо однієї з його сторін та поверхню конуса обертанням прямокутного трикутника навколо одного з катетів. Тому, як підсумок, на уроці демонструємо моделі циліндрів, конусів, серед яких є моделі похилих і некругових циліндрів і конусів. При цьому повідомляємо, що надалі розглядатимемо лише прямі кругові циліндри та прямі кругові конуси, які називатимемо відповідно циліндрами і конусами. Формулюємо означення циліндра як геометричного тіла, утвореного обертанням плоского прямокутника навколо однієї з його сторін. З'ясовуємо, що називають основами, твірними, радіусом, висотою, віссю циліндра. Учитель має зауважити, що у прямого циліндра твірні перпендикулярні до площин основ.

Побудова зображень геометричних тіл – ефективний спосіб розвитку просторових уявлень. Побудова зображень циліндра, конуса, кулі не становить для учнів значних труднощів.

Після ознайомлення з паралельністю площин учні досить легко помічають, що основи циліндра знаходяться в паралельних площинах. Якщо каркасну модель циліндра розмістити в полі зору учнів так, що його основи матимуть вигляд еліпсів, а твірні та висота циліндра будуть вертикальними, то зрозумілим стає зображення циліндра. За допомогою шаблона будуємо два рівних еліпси – основи циліндра, малі осі яких лежать на одній вертикальній прямій. Спільні вертикальні дотичні до обох еліпсів будуть контурними твірними зображуваного циліндра. Для організації роботи учнів треба забезпечити достатньою кількістю шаблонів еліпса різних розмірів.

Відомості, одержані учнями про конус раніше, варто пригадати, повторити.

Прямий круговий конус означуємо як геометричне тіло, утворене обертанням плоского прямокутного трикутника навколо одного з катетів. Пояснюємо учням побудову зображення конуса. Основою конуса є круг, який зображується у вигляді довільного еліпса, мала вісь якого лежить на вертикальній прямій. На цій прямій, яка проходить через центр еліпса, позначимо точку – вершину конуса, через неї проведемо дві дотичні до еліпса – контурні твірні. Одержана фігура і буде зображенням конуса на площині.

Даємо уявлення про зрізаний конус. Перетнемо конус площиною, паралельною його основі. Вона відтинає від нього менший конус. Частину, що залишилася, називають зрізаним конусом. Демонструємо учням відповідні моделі.

Слід звернути увагу учнів на практичне значення конічних форм. З конусом, і особливо зрізаним, дуже часто доводиться мати справу на виробництві, зокрема в токарній справі.

Уявлення про осьовий переріз циліндра, конуса учні одержують у процесі ознайомлення з тілами обертання. Уже під час проведення досліду, який демонструє утворення циліндра, конуса, звертаємо увагу на те, що є їх осьовим перерізом. Під час побудови зображень цих тіл даємо уявлення також про зображення осьового перерізу.

З кулею учні ознайомлені раніше. У 9-му класі доцільно розглянути кулю як тіло, утворене обертанням півкруга навколо діаметра. Перед формулюванням означення кулі пропонуємо учням пригадати означення кола і круга, відомі з курсу планіметрії. Тоді так само, як у випадку з циліндром і конусом, формулюємо означення кулі.

Куля – це геометричне тіло, утворене обертанням півкруга навколо діаметра як осі. Центр півкруга буде центром кулі. Радіус півкруга водночас є і радіусом кулі. Поверхню кулі називають сферою. Доцільно зауважити, що сферу можна дістати обертанням кола навколо діаметра як осі.

Переріз кулі площиною є круг. Цей факт буде доведено в систематичному курсі стереометрії.

Контуром кулі є коло. Якщо, будуючи зображення кулі, зобразити тільки її контур, то таке зображення не буде наочним. Тому рисунок потрібно доповнити деякими лініями і точками, які зображають окремі елементи кулі. Коло одного з великих кругів кулі назвемо екватором; діаметр, перпендикулярний до площини екватора, – віссю; його кінці – полюсами кулі. Якщо зображення контуру кулі доповнити зображеннями екватора і полюсів, рисунок стане об'ємним. Зображенням екватора кулі буде довільний еліпс, центр якого є зображенням центра кулі. Нехай такий еліпс вибрано. Тоді пропонуємо таку послідовність побудови зображення кулі:

проводимо вертикальну вісь кулі, вибираємо на ній точку, що зображає центр кулі;

сумістивши центр еліпса з вибраною точкою, а малу вісь еліпса з вертикальною віссю кулі, зображаємо екватор кулі;

радіусом, що дорівнює великій півосі еліпса, будуємо коло з центром у точці, що є зображенням центра кулі; це коло зображає контур кулі;

для зображення полюсів проводимо дотичну до еліпса в одному з кінців його малої осі; відрізок цієї дотичної між точкою дотику і точкою перетину її з контуром кулі відкладаємо на осі кулі по обидві сторони від центра кулі. Одержані точки – зображення полюсів кулі.

За аналогією до дотичної до кола дається уявлення про дотичну площину до кулі.

Учні 9-го класу готові до оволодіння вмінням виконувати такі зображення. Більшість з них правильно зображає прямокутний паралелепіпед, куб, піраміду, циліндр, конус, кулю, хоча поширеною помилкою є неправильне зображення невидимих ліній суцільною лінією.

Під час вивчення питань, пов'язаних із зображенням геометричних тіл, ефективним засобом є комп'ютер. За його допомогою легко виділити най-значиміше, продемонструвати побудову зображення у відповідній послідовності у динаміці.

З обчисленням об'ємів геометричних тіл учні ознайомлені в курсі математики 5–6-х класів. Надалі слід звернути увагу на те, що кожне геометричне тіло має певний об'єм, виражений додатним числом. Обчислюючи об'єми, треба брати до уваги такі властивості.

Рівні тіла мають рівні об'єми.

Якщо тіло складається з частин, що не мають самоперетинів, то його об'єм дорівнює сумі об'ємів частин, з яких воно складається.

Одиницею об'єму вважають об'єм куба, ребро якого дорівнює одиниці довжини.

Зауважимо, що зазначені властивості об'ємів аналогічні до властивостей площ.

Оскільки формула для обчислення об'єму прямокутного паралелепіпеда відома учням ще з 5-го класу, то її необхідно пригадати:

,

де – виміри паралелепіпеда.

Якщо добуток розглядати як площу основи паралелепіпеда, – його висоту, то можна сказати так: об'єм прямокутного паралелепіпеда дорівнює добутку площі його основи на висоту.

Після цього дається формула для обчислення об'єму прямої призми:

,