Сторінка
3

Форми та методи перевірки знань учнів при вивченні ділення з остачею

12л = 12(1б.: 3) = (12: 3) -1б. = 4 ∙ 1б = 4б

Бачимо, що ділення натуральних чисел пов'язано з переходом до нової одиниці величини. Покажемо це в загальному вигляді.

Нехай відрізок б складається з m відрізків, рівних е, а також е, який складається з n відрізків, рівних е. З'ясуємо, як знайти число, яким буде виражатись довжина відрізка при одиниці довжини е.

Так, як е = nе, то е = е: n. Тоді б = mе = m ∙ (е: n) = (m: n) ∙ е.

Таким чином, ділення натуральних чисел розглядається як значення довжини відрізків, які відображають перехід до нової (більш крупної) одиниці дoвжини: якщо натуральне число m - значення довжини відрізка б при одиниці довжини е, а натуральне число n - значення довжини відрізка е при одиниці довжини е, то частка m: n є значенням довжини відрізка б при одиниці довжини е.

Наприклад, якщо б = 12е і е = 2е, то значення довжини відрізка б при одиниці довжини е буде дорівнювати 6е.

б = 12 · е = 12 · (е: 12) = (12: 2) · е = 6е

б = 12е; б = (12: 2)е = 6е

У підручниках з математики багато простих задач, в яких розглядаються різні величини і які вирішуються за допомогою ділення. Відбувається це, як правило, з використанням наочності, при цьому множення трактується як складання однакових доданків, а ділення як операцію обернену множенню.

Дуже важливим при вивченні теми «Ділення» є формування поняття ділення з остачею, що також можна розглядати з двох точок зору: теоретико- множинного та аксіоматичного підходів.

Ділення з остачею розглядається ще у початкових класах. Наприклад: 21:4 = 5 (1 остача). Тоді 21 = 5 · 4 + 1 (1< 4).

Учні повинні добре усвідомити, що при діленні в стовпчик щоразу у частці треба брати таке число, щоб остача залишалась меншою від дільника. Адже в цьому прикладі ділене 21 можна було б зобразити інакше: 21=4·4 +5, але 5 > 4, або 21 = 4 ∙ 3 + 9, але 9 > 4 і так далі.

В обох цих випадках взято частку меншу, ніж вона буде насправді. Внаслідок такого ділення можна допустити помилки, які з учнями слід з'ясувати.

Розглянемо сутність дії ділення з остачею з точки зору теоретико- множинного підходу.

Нехай б = n(А) і множину А розбито на множини А, А,…, А, Х так, що множини А, А,… А рівнопотужні і містять по b елементів, а множина X містить менше елементів, ніж кожна з множин А, А,… А, наприклад n(х) = r. Тоді б = bq + г, де 0 < г < b. Таким чином неповна частка q – це число рівнопотужних підмножин (в кожному з яких b елементів) в розбитті множини А, а остача г - це число елементів в множині X.

У початковій школі знайомство з діленням з остачею відбувається при розгляданні ситуації, у якій з дев'яти дітей виникає чотири пари і один чоловік залишається без пари, тобто знайомство з неповною часткою та остачею відбувається на теоретико-множинній основі. Використовується такий запис ділення з остачею: 9: 2 = 4 (ост.1)

Підкреслюється, що якщо при діленні отримаємо остачу, то вона завжди менша за дільник.

Важливість ділення з остачею в тому, що вона лежить в основі алгоритму ділення багатоцифрових чисел.

Розглянемо ділення з остачею з точки зору аксіоматичного підходу.

Яке б не булo ціле невід'ємне число б і натуральне число b, існує, при чому єдина, пара цілих невід'ємних чисел q (частка) і г (остача) таких, що:

б = bq = + г Л 0 < г < b.

Розглянемо спочатку найбільш загальний випадок, коли б > b і б не кратне b.

Тоді серед чисел кратних, b знайдеться два послідовних числа таких, що

bq < б < b (q + 1);

b (q +1) > б,

bq + b > а (за розподільним законом множення),

b > б - bq (за законом монотонності для нерівностей).

Позначимо б - bq через г: б - bq = г тоді b > г, тобто г < b. Крім того г > 0, бо bq < б, отже, б - bq > 0. Таким чином в цьому випадку існує два числа q і г такі, що б = bq + г, де 0 < г < b.

Довести, що пара чисел q i r єдина можна методом від супротивного. Припустимо, що існує ще одна пара чисел q і r таких, б = bq1 + г1 Л 0 < r1 < b. Запишемо поряд нерівності:

б = bq + г, де 0 < г < b, (1)

б = bq1 + r1, де 0 < г1 < b. (2)

Тоді за законом транзитивності рівностей матимемо

bq + r = bq1 + r1

r1 ≠ r, бо тоді і bq = bq => q = q і, навпаки q1 ≠ q, бо q1 = q => г1 = r. Мали б ту саму пару чисел q і r.

Нехай для визначеності r > r віднімемо від рівності (1) почленно рівність (2) за законом адитивності рівностей. Дістанемо:

0 = b(q – q1) + (r + r1);

(3)

b (q1 - q) = (r + r1),

r > r1 => r – r1 > 0, r < b Л b => r – r1 < b.

У правій частині рівності (4) маємо натуральне число г – r1 менше від b, а в лівій - добуток b на q1 - q.

Якщо q > q1, то різниця q – q в множині цілих невід'ємних чисел не існує, отже, рівність неможлива. Якщо q1 > q, то q1 – q > 1 i тоді b (q1 - q) > b, отже рівність не можлива (не може число, більше за b бо рівне b, дорівнювати числу, меншому від b). Таким чином, наше припущення не правильне. Аналогоічно міркують, якщо припустити, що r < r1, тільки віднімати слід почленно від рівності (2) рівність (1). Отже, r1 = r і тоді q1 = q.

Якщо б кратне b1, то дістанемо окремий випадок - ділення без остачі: б = bq + r, де r = 0. Якщо б < b, то б = b ∙ 0 + r, де 0 < r < b, q = 0. Наприклад, 12 = 15 ∙ 0 + 12.

Отже вивчення основ теорії ділення приводить до висновку, що вчителю початкових класів необхідно знати основні положення цієї теорії.

Методичні аспекти вивчення ділення з остачею

Фундаментом курсу математики є вивчення чисел, яке охоплює таке коло питань: лічба, властивості натурально ряду чисел, нумерація, арифметичні діє над цілими невід'ємними числами, властивості арифметичних дій.

За програмою діти вивчають дію ділення та всі її властивості у наступній послідовності:

Починаючи з другого класу учні вивчають: дію ділення, знак ділення (:), назви компонентів та результату дії ділення, зв'язок дій ділення та множення, таблиці ділення на 2,3,4,5.

У 3-у класі діти продовжують вивчати табличне ділення на 6, 7, 8, 9, знайомляться з особливими випадками ділення: ділення на 1, ділення рівних чисел, ділення 0, неможливість ділення на 0, ділення на 10 та на 100, вивчають прийоми поза табличного ділення: ділення розрядних чисел на одноцифрове (6: 3, 200: 4), ділення числа на добуток двох чисел, ділення випадку: (300: 20, 600: 300, 60: 30), ділення суми на число, ділення двоцифрового числа на одноцифрове число, ділення виду: 360: 3, ділення на двоцифрове число способом випробовування (добору): 64: 16, 125: 25, знайомляться з діленням з остачею.

У 4-у класі вивчається алгоритм письмового ділення на одноцифрове число: дія ділення, властивості частки, ділення багатоцифрових чисел на одноцифрові (загальний випадок), ділення багатоцифрових чисел на одноцифрові у випадку, коли частка містить нулі, зв'язок множення та ділення, ділення суми на число, письмове ділення багатоцифрових чисел на одноцифрові та ділення з остачею на 10, 100, 1000. Потім ділення чисел, що закінчуються нулями: усне ділення круглих, багатоцифрових чисел на розрядні числа, письмове ділення трицифрових чисел на круглі десятки, ділення з остачею трицифрових чисел на круглі десятки, ділення багатоцифрових чисел на розрядні числа (загальний випадок), ділення багатоцифрових чисел на розрядні числа (у частці нулі всередині та вкінці).