Сторінка
2

Форми та методи перевірки знань учнів при вивченні ділення з остачею

Таким чином, ділення натуральних чисел є дія, обернена множенню. В першому випадку записують х = б: с, у другому х = б: b.

Поділити натуральне число б на натуральне число b – це означає знайти таке натуральне число с, щоб задовольнилася умова б = с · b.

Число б називають діленим, b – дільником, с – часткою. Записують це так: б: b = с або . Отже, ділене дорівнює частці помноженій на дільник.

Те, що дія ділення обернена до дії множення, можна проілюструвати рівностям, які використовуються ще в другому класі:

б) (a: b) · b = б;

b) (б · b): b = б б: b = c, звідки б = c · b, або б = (б: b) · b.

Рівність (б · b): b = б перевіряється безпосередньо за означенням ділення: ділене бb дорівнює частці б, помноженій на ділене b, тобто бb = бb.

В.Н.Кухар виділяє ще такі властивості ділення:

1) Розподільна властивість ділення відносно суми. Щоб поділити суму на число, досить поділити на це число кожний доданок і отримані результати додати:

(б + b): с = б: с + b: с.

Отже, б + b = (a: c + b: c) · c = (б: c) · c + (b: c) · c = a + b на основі розподільного закону множення та за властивістю ділення як дії, оберненої множенню.

Цю властивість можна поширити на будь-яке число доданків:

(б1 + б2 + … +бn): b = б1: b + б2: b + … + бn: b.

Розподільна властивість дуже важлива: вона є теоретичною основою алгоритму ділення багатоцифрових чисел.

У початкових класах розподільну властивість розкривають на конкретних задачах.

Задача. В одному сувої 12 м тканини, а в другому 15 м. З цієї тканини пошили сукні, витрачаючи на кожну 3 м. Скільки суконь пошили?

Розв’язують задачу двома способами, дістаючи при цьому різні, але еквівалентні між собою числові формули розв’язку:

1 – й спосіб 2 – й спосіб

х = (12 + 15): 3 х = 12: 3 + 15: 3

Отже: (12 + 15): 3 = 12:3 + 15: 3

На основі розподільної властивості ділення розв’язують приклади виду:

96: 3 і 96: 4.

2) Розподільна властивість ділення відносно різниці. Щоб поділити різницю на число, досить поділити на це число зменшуване і від’ємник, і від першого результату відняти другий:

(б - b): с = б: с - b: с.

3) Ділення добутку на число. Щоб поділити добуток на число, досить поділити на це число один із співмножників і результат помножити на другий співмножник:

(б · b): с = (б: с) · b = (b: с) · б.

Довести рівність можна наступним чином, наприклад: (б·b):с=(б: с)·b. Якщо ця рівність правильна, то за означенням ділення б · b = ((б: с) · b) · с = ((б: с) · с) · b = б · b.

У підручнику є багато задач та прикладів де розкривається саме ця властивість ділення. Наприклад:

(72 · 24): 12 = (72: 12) · 24 = 6 · 24 = 144

(72 · 24): 12 = (24: 12) · 72 + 2 · 72 = 144

4) Ділення числа на добуток. Щоб поділити деяке число на добуток, досить поділити це число на один із співмножників і знайдену частку поділити на другий співмножник:

б: (b · с) = (б: b): с = (б: с): b

На цій властивості ґрунтується послідовне ділення при усних обчисленнях: 126: 18 = 126: (2 · 9) = (126: 2): 9 = 63: 9 = 7.

5) Ділення частки на число. Щоб поділити частку на число, досить поділити на це число ділене, а знайдений результат поділити на дільник або помножити дільник на це число, а потім ділене поділити на одержаний добуток. Наприклад:

(180: 5): 18 = (180: 18): 5 = 10: 5 = 2,

(180: 5): 4 = 180: (5·4) = 180: 20 = 9.

6) Ділення числа на частку. Щоб поділити деяке число б на частку від ділення двох чисел, досить поділити це число на ділене і результат помножити на дільник: б: (b: с) = (б: b) · с.

б = ((б: b) · с) · (b: с) = (б: b) ((b: с) · с) = (б: b) · b = б

Отже ділення базується на властивостях, які легко доводяться і широко використовуються при розв’язанні задач та прикладів.

Довести це можна спираючись на означення ділення:

Якщо дано деяке невід’ємне число б і натуральне число b то, як відомо, можливі два випадки:

1) б ділиться на b, або б кратне b. Це записують наступним чином:

б b, б = bq, де q є Z+0;

2) б не ділиться на b. Записують б не b. Це означає, що при діленні б на b залишається остача, що дорівнює 0 і менша за дільник b: б = bq + r, де 0 < r > b.

У першому випадку ще говорять, що b ділить б, а у другому – що b не ділить б. Наприклад:

а) 12 4, бо 12 = 4 ·3; б) 18 не 4, бо 18 = 4 · 4 + 2.

Існують властивості відношення подільності:

а) Рефлективність: будь-яке натуральне число ділиться само на себе, тобто (∀: б є N) б б. Справді, б б = 1, бо б = 1 · б.

б) транзитивність: (б b) Л (b с) = > б: с.

Справді, б b = > б = bq1, де q1 є Z;

b c => b = сq2, де q2 є Z+0; б = bq1 = сq1q2 = ct, де t є Z+0.

Отже, б с.

Наприклад, 82 42 Л 42 6 = > 84 6.

Справді, 84 = 42 · 2 = 6 · 7 · 2 = 6 · 14.

в) Антисиметричність: (∀ б, b є N) (б b Л b б) => b = б.

Наприклад, 10 5, але 5 не 10, якщо 10: б Л б: 10, то б = 10.

Таким чином, відношення подільності на множині цілих невід'ємних чисел не є відношенням еквівалентності, бо не використовується властивість симетричності.

Що стосується формування поняття ділення в теорії величин Л. П. Стойлова та А. М. Пишкало розглядають це слідуючим чином.

Спочатку виясняють, який смисл має ділення натуральних чисел, шо являються значенням величин.

Розглянемо задачу: «Місткість однієї банки Зл. Скільки потрібно банок,щоб розлити 12л фруктового соку?»

Щоб вирішити задачу, зобразимо 12л у вигляді відрізка та вияснимо, скільки раз у ньому вкладеться відрізок, що зображає Зл.

Отримаємо, що 12л: Зл = 4(б.)

Можна обгрунтувати розв'язання цієї задачі інакше. В задачі розглядається дві одиниці місткості, які зайняті соком, літр та банка (за умовою місткість виміряна в літрах), і відомо, що в новій одиниці (банці) міститься 3 старі (Зл), то 1л =1б.: 3.