Сторінка
3

Розвиток логічного мислення учнів у процесі вивчення геометрії

Існують родові і видові ознаки. Родовими називають ознаки, істотні для предметів одного класу. Наприклад, для ромба такою ознакою є належність до множини паралелограмів. Видовими ознаками називають ті, які лежать в основі виділення певної групи предметів у межах роду. Наприклад, видовою ознакою ромба є рівність усіх його сторін, оскільки саме ця ознака виділяє ромб з множини усіх паралелограмів.

Сукупність істотних ознаках, спільних для всіх предметів даного класу, що входять у дане поняття, називається змістом поняття. Наприклад, змістом поняття „квадрат” є обидві його істотні ознаки : прямокутність і рівність усіх сторін; змістом поняття „непроникності” є властивість геометричних тіл, коли два тіла не можуть водночас займати один і той самий простір.

Обсяг або об’єм поняття – це певна сукупність, множина, клас предметів, кожний з яких має ознаки, відображені в змісті поняття. Так, обсяг поняття „квадрат ” становить множина всіх чотирикутників, які мають істотні ознаки квадрата.

Зміст і обсяг поняття тісно пов’язані між собою і залежать один від одного. Із збільшенням змісту поняття зменшується його обсяг і навпаки – зменшення змісту поняття збільшується його обсяг. Наприклад , в обсяг поняття „паралелограм” входять усі види паралелограмів, зміст цього поняття становлять ознаки : „чотирикутника” і „попарна паралельність несуміжних сторін”. Коли до цих істотних ознак додати ознаку „ рівність усіх кутів зазначеної фігури”, то обсяг поняття зменшиться – тепер до нього входить лише частина всіх паралелограмів, тобто лише прямокутники.

Зміст і обсяг поняття – це дві його сторони, невіддільні від нього. Залежність між змістом і обсягом понять добре розкривається через дії обмеження й узагальнення. Обмеження поняття – це логічна дія, внаслідок якої відбувається перехід від поняття з більшим обсягом ( роду) до поняття з меншим обсягом (виду) через додавання до змісту попереднього поняття ознак, які стосуються лише частини предметів, що входять в обсяг вихідного поняття.

Узагальнення – це логічна дія над поняттям, яка за своїм характером протилежна обмеженню. Результатом узагальнення є поняття, більші за обсягом, ніж вихідне. У процесі узагальнення думка йде від поняття меншої загальності (виду) до поняття більшої загальності (роду). Так, якщо у понятті „правильна піраміда” віднімемо ознаки „основою піраміди є правильний багатокутник” і „основа висоти збігається з центром цього багатокутника”, то дістанемо загальніше поняття „піраміда”; віднявши видові ознаки поняття „піраміда”, дістанемо ще ширше поняття – „багатогранник”

Таким чином, рух від загального до конкретного здійснюється за допомогою обмеження понять, а умовою розширення знань, виявлення все ширших зв’язків і відношень між предметами дійсності є узагальнення.

Важливу роль у встановлені відношення між поняттями відіграє порівняння, яке є важливим методом пізнання. На основі порівняння змісту і обсягу понять їх поділяють на дві великі групи порівнянні і непорівнянні. Ті поняття, у зміст яких порівнянні поняття відображають предмети однієї предметної області, то вони можуть мати спільну частину обсягу. Ці поняття належать до одного й того самого найближчого роду.

Непорівнянні поняття не мають найближчого спільного родового поняття, оскільки вони відображають предмети різних, віддалених предметів галузей. Наприклад, поняття „трикутник” і „хоробрість” непорівнянні – вони відображають предмети, які не мають спільних ознак. Предметом дослідження нормальної логіки є порівнянні поняття, бо вони відіграють важливу роль у мисленні і пізнанні дійсності.

Порівнянні поняття поділяють на сумісні і несумісні. Якщо два порівняні поняття в своєму змісті не мають ознак, що виключають повний або частковий збіг обсягів цих понять, то їх називають сумісними.

Сумісність поняття включають у свій обсяг поняття, які перебувають у відношенні тотожності ( рівнозначності), підпорядкованості та часткового збігу(перерізу). У відношенні тотожності або рівнозначності перебуває поняття, які мають однаковий обсяг, але відрізняються одне від одного змістом. Це, наприклад, поняття перпендикуляра, проведеного в площині прямої, яка має той самий напрям і проходить через цю саму точку на колі. Обидва предмета мають різні ознаки, але один і той самий обсяг, бо такий перпендикуляр і така пряма збігаються.

У мові тотожні поняття називаються синонімами. У відношенні підпорядкування перебувають поняття, обсяг першого з яких повністю входить в обсяг другого тільки частково входить в обсяг першого. Перше поняття називається підпорядкованим, а друге – підпорядкованим.

Несумісні поняття –це поняття, обсяги яких зовсім не збігаються. Множини, відповідні цим поняттям, не мають спільних елементів. Зміст таких понять виключає будьяку можливість як повного, так і часткового обсягу. До несумісних належать поняття, які перебувають у відношенні співпідпорядкування, протилежнності і суперечності.

У відношенні співпідпорядкування перебувають поняття, обсяги яких входять у більш широке поняття якому вони однаковою мірою підпорядковуються. Множини співпідпорядкуваних понять не мають спільних елементів. Зміст цих понять має спільну родову ознаку але кожне з них має ще й свої власні видові ознаки.

У відношенні протилежності ( або супротивності, контрарності – від латинського слова contrarium – протилежність ) перебуває поняття, обсяги яких входять в обсяг підпорядковуючого, але повністю його не вичерпують. Зміст цих понять виключають зміст протилежного йому поняття. Між протилежними поняттями можливе третє. Прикладом понять, що перебувають у відношені протилежності, є „гострокутний трикутник” „тупокутний трикутник” (між ними можливе третє поняття – „прямокутний три кутник”, спільною родовою ознакою їх є поняття „трикутник”.

У відношенні суперечності перебувають такі два сумісні поняття, кожне з яких включає зміст іншої. Обсяги їх не збігаються і водночас вичерпують обсяг родового поняття. Між ними неможливе третє поняття. Такими поняттями будуть: „рівний”„нерівний”, „гострий”„негострий” , „ціле число”„неціле число”, „більше”„не більше” і так далі.

Поділ поняття – це логічна дія, яка полягає в мисленому поділі обсягу (роду) поняття на видові поняття, з яких відображені види предметів.

Особливим видом поділу є також кваліфікація. Тут не обмежується поділом поняття на класи, а класи поділяють на підкласи, підкласи –на ще дрібніші частини і так далі.

Логічний поділ ( утому числі і класифікація) має велике значення при вивченні будьякої науки, бо розчленовуючи обсяг поняття на окремі класи чи види, що мають і подібні, і відмінні ознаки, ми маємо можливість глибше вивчати поняття конкретної науки і зв’язки між ними.

Розглянемо означення понять

Поняття вводять за допомогою логічної операції означення.Особливу велику роль означення відіграють у математиці. Вони допомогають виділити даний предмет з множини інших об’єктів. Під означенням ми розуміємо таку логічну операцію, за допомогою якої розкривається зміст поняття. Отже, означити поняття – це перелічити всі істотні ознаки об’єктів, що входять у дане поняття. Словесне позначення поняття називається терміном. Наприклад ,