Сторінка
12
З’ясуємо, як математики вводять у свої міркування нові об'єкти – означують математичні поняття.
Що таке квадрат? Згідно означення: це прямокутник, у якого всі сторони рівні між собою. Поняття квадрата, як бачимо, подається через більш загальне поняття прямокутника. А що таке прямокутник? Це паралелограм, у якого всі кути прямі. Ще один крок до поняття більш елементарного. А паралелограм? Це чотирикутник, у якого протилежні сторони попарно паралельні.
Такий спосіб побудови математичних понять використовував ще Аристотель. Великий древньогрецький філософ назвав його так: означення через рід і видову відмінність.
Наприклад, прямокутник відноситься до роду паралелограмів, а його видова відмінність полягає в тому, що усі його кути прямі. Паралелограм відноситься до роду чотирикутників, а видова відмінність – паралельність протилежних сторін. Поняття чотирикутника, у свою чергу, визначається через поняття відрізка, а той визначається як частина прямої, що міститься між двома точками цієї прямої, включаючи і ці точки.
Так у ході свого аналізу ми добралися до основних геометричних понять, про які мова йде в аксіомах геометрії “точка” і “пряма”, “лежати” і “між”.
А як визначаються основні поняття? Подивимось як це робив батько геометрії Евклід.
Відкриємо знову його «Начала»: “Точка є те, що не має частин. Лінія це довжина без ширини. Кінці ж лініїточка. Пряма лінія є та, що однаково розташована стосовно точок на ній .”.
Чи задоволені Ви таким означенням? Мабуть, ні! Напевно, виникають питання: Хіба тільки про пряму лінію можна сказати, що вона однаково розташована відносно своїх точок? Адже такою ж властивістю володіє й коло. А що таке довжина? ширина? Хіба ці поняття теж не вимагають означень?
Особливо над цими питаннями математики стали замислюватися на межі XIX і XX століть. Глибокий аналіз Евклідової геометрії показав, що не такою вже і стрункою є ця древня споруда. Недоліки в її конструкції містяться у фундаменті. Почалася кропітка робота, спрямована на усунення цих недоліків.
То як же виглядають початки геометрії у сучасному викладі? Візьмемо книгу німецького математика Давида Гильберта ”Основи геометрії”:
“Ми мислимо три різні системи речей: речі першої системи ми називаємо точками, речі другої системи ми називаємо прямими, речі третьої системи ми називаємо площинами. Ми мислимо точки, прямі й площини у визначених співвідношеннях і позначаємо ці співвідношення різними словами, а саме: належати, між, конгруентний (тобто такі, що суміщаються при накладанні), паралельний, неперервний”.
Як бачимо, Гильберт і не збирається означувати основні об’єкти геометрії точку, пряму, площину. Ці поняття вважаються основними, неозначуваними.
Роль логічних доведень геометричних тверджень(лем та теорем)
Доведення – це логічна операція обґрунтування істинності якогонебудь судження за допомогою інших істинних та з’язаний з ним суджень. Другими словами, це виведення одного знання з другого, істинність якого уже встановлена і перевірена практикою. Логічна структура доведення у всякому доведенні є теза, яка доводиться, аргумент, що використовуються на підтвердження тези і демонстрація, якими чином логічно будується процес доведення.
Роль аргументів в доведенні виконують: 1.Встановлені в науці узагальнення. 2. Очевидні положення, які безсумнівні і не потребують окремого доведення. 3. Достовірні факти і зібрані дані. Демонстрація – це логічний зв’язок між аргументами і тезою. Обґрунтування тези може мати форму умовиводу дедуктивного, індуктивного чи аналогії. Дедуктивне обґрунтування здебільшого зводиться до підведення часткового випадку (тези) під загальне правило і висловлюється у вигляді умовнокатегоричного судження. При цьому теза одержує значення істини, що підтверджена достовірними аргументами. Індуктивне обґрунтування підтверджує загальну тезу перерахуванням ряду фактів, прикладів. При цьому достовірність тези тут залежить від міри повноти перерахованих фактів та від всебічності розгляду самої тези.В аналогічному обґрунтуванні теза доводиться посиланням на достовірні факти і положення в інших подібних явищах, предметах і подіях. Застосовується у витлумаченні конкретних історичних подій, в моделюванні.
Способи доведення є прямі і побічні. В прямому доведенні теза обґрунтовується безпосередньо, “на пряму”. В побічному доведенні істина доводиться з використанням протилежної тезі допущення (антитези). Це доведення використовується тоді, коли тезу неможливо довести в прямому значенні, безпосередньо.
Спростування – це руйнування доведення шляхом виявлення хибності тези, хибності обґрунтування (аргументів) і хибності самої логіки доведення. Воно може бути прямим чи побічним. Пряме спростування показує абсурдність тези (зведення до абсурду). Побічне спростування доводить істинність тези, що несумісна з висунутою тезою опонента. При доведеннях і спростуваннях, особливо в усній формі, велике значення має ерудиція опонентів, послідовність розгортання думки, красномовство, а також вміння подіяти на почуття художнім словом, ораторськими здібностями тощо. Навмисне логічне заплутування думки одержало назву софізму (пустого мудрствування), яке хоча і може справити враження, але немає ніякої ні формальнологічного, ні змістовного значення.
Розбудовуючи будьяку математичну теорію, ми рухаємося вперед. Тобто виявляємо і доводимо все нові й нові теореми. Однак можна рухатись й у зворотному напрямку. Якщо ми захочемо вияснити на які теореми спирається кожна теорема, то ми обов'язково доберемося до таких тверджень, істинність яких приймається без доведення. Їх називають аксіомами або постулатами.
Уже на перших сторінках свого трактату Евклід перераховує постулати, на які посилається надалі, виводячи геометричні теореми: 1. Від усякої точки можна провести пряму лінію. 2. Обмежену пряму можна нескінченно продовжувати до прямої. 3. З усякого центра довільним розхилом може бути описане коло. 4. Усі прямі кути рівні між собою. 5. Якщо пряма, що падає на дві прямі, утворює внутрішні односторонні кути, то ці дві прямі, продовжені необмежено, зустрінуться з тієї сторони, де кути менші за два прямі.
На такому фундаменті зводиться будинок Евклідової геометрії. Наприклад, за допомогою свого п'ятого постулату Евклід доводить теорему про рівність внутрішніх різносторонніх кутів, утворених паралельними прямими й січною. Використовуючи цю теорему, доводить теорему про суму внутрішніх кутів трикутника і т. д. Так і утворюється одна теорема за іншою.
У математиці розглядаються різні геометричні об’єкти: пряма, крива, кут, коло, многокутники та інші. Усе це математичні поняття. Щоб правильно організувати процес формування того чи іншого поняття у школярів треба, насамперед чітко визначити його місце у науці і його зміст у шкільному курсі, пам’ятаючи про те, що друге не повинне суперечити першому.
Поняття – це одна з основних форм мислення, в якій відображається суть предметів і явищ реального світу в їх істотних, необхідних ознаках і відношеннях.