Сторінка
14

Розвиток логічного мислення учнів у процесі вивчення геометрії

SHBCH1=BC x BH. Але BC=AD по властивості паралелограма.

Тоді SABCD=AD x BH. Теорема доведена.

Рис.3.3 Дано: ABCDПаралелограм, ADпідстава, BHВисота

б) Площа трикутника

Теорема. Площа трикутника дорівнює половині добутку основи на висоту.

Рис.3.4. Дано: ABCТрикутник, AC основа, BH висота

Довести: SABC = ? AC x BH

Доведення

Перекроїмо трикутник у паралелограм. Для цього проведемо середню лінію MN і розріжемо трикутник ABC на дві частини. Трикутник MNC прикладемо до відрізка BM як показано на рис.3.4. Одержимо паралелограм ABDN, рівноскладений із трикутника ABC, а отже й рівновеликий. Тоді SABDN=SABC

SABDH=AN x BH. Але AH=1/2 AC

тому що NСередина AC.

Отже SABC=1/2 AC x BH. Теорема доведена.

в) Площа трапеції

Теорема. Площа трапеції дорівнює добутку напівсуми її підстав на висоту.

Рис.3.5 Дано: ABCDТрапеція, AD і BC основи, BHВисота

Довести: SABCD=1/2 (AD + BC) x BH

Доведення

Перекроїмо трапецію в трикутник. Для цього розріжемо її по відрізку BM, де M середина сторони CD.Трикутник BCM прикладемо до відрізка MD як показано на рис.3.5. Одержимо трикутник ABN рівноскладений із трапецією ABCD, а отже й рівновеликий , тобто SABN=SABCD

SABN=1/2 AN x BH, (3.1)

Але AN =AD + DN, а DN = BC.

Звідки AN=AD + BC.

Підставимо в (3.1), одержимо SABCD=1/2 (AD + BC) x BH. Теорема доведена.

г) Розрахунок площі несиметричного п'ятикутника методом побудови рівновеликого трикутника (рис.3.6).

Дано довільний 5кутник .

Рис.3.6 Перебудова п’ятикутника в равновеликий трикутник

Перебудовуємо його в рівновеликий трикутник :

1.Будуємо діагональ AC, з'єднуючи точки A й C усередині багатокутника

2.Продовжуємо по стороні AE пряму FK

3.Через точку B будуємо пряму BF, що паралельна діагоналі AC.

4.Із точки C в точку F перетинання прямих BF і FK проводимо відрізок CF

5.Оскільки й побудовані між паралельними прямими й мають загальну основу , то

їхні висоти однакові й дорівнюють відстані по перпендикуляру між паралельними прямими;

площі цих трикутників рівні, оскільки розраховуються як половина добутку висоти трикутника на його основу.

6.Через точки С й Eпроводимо другу діагональ п'ятикутника.

7.Через точку D будуємо пряму DK паралельну другій діагоналі СE

8. Із точки C проводимо відрізок CK у точку K перетинання прямих DK і FK.

9.Трикутник CED і побудований трикутник CEK розташовані між паралельними прямими CE й DK мають загальну основу CE – рівновеликі , тобто мають рівну площу.

10.Отриманий трикутник є рівноскладеним і рівновеликим п'ятикутнику , оскільки:

Роль практичного розв’язування геометричних задач

У процесі навчання математики задачі виконують різноманітні функції. Навчальні математичні задачі є дуже ефективним і часто незамінним засобом засвоєння учнями понять і методів шкільного курсу математики, взагалі математичних теорій. Велика роль задач у розвитку мислення й у математичному вихованні учнів, у формуванні в них умінь і навичок у фактичних застосуваннях математики. Рішення задач добре служить досягненню всіх тих цілей, які ставляться перед навчанням математиці. Саме тому для рішення задач використовується половина навчального часу уроків математики (700800 академічних годин в IVX класах). Правильна методика навчання рішенню математичних задач відіграє істотну роль у формуванні високого рівня математичних знань, умінь і навичок учнів.

Рішення математичних задач привчає виділяти посилки й висновки, дані й шукані, знаходити загальне, і особливе в даних, зіставляти й протиставляти факти. При рішенні математичних задач виховується правильне мислення, і насамперед учні привчаються до повноцінної аргументації. Рішення задачі повинне бути повністю аргументованим, тобто не допускаються незаконні узагальнення, необґрунтовані аналогії, пред'являється вимога повноти диз'юнкції (розгляд всіх випадків даної в задачі ситуації), дотримуються повнота й витриманість класифікації. При рішенні математичних задач в учнів формується особливий стиль мислення: дотримання формальнологічної схеми міркувань, лаконічне вираження думок, чітка розчленованість ходу мислення, точність символіки.

Варто виділити кілька видів задач по їхній навчальній ролі.

1) Задачі для засвоєння математичних понять. Відомо, що формування математичних понять добре проходить за умови кропіткої роботи над поняттями, їх визначеннями і властивостями. Щоб опанувати поняття, недостатньо вивчити їх визначення, необхідно розібратися в змісті кожного слова у визначенні, чітко знати властивості досліджуваного поняття. Таке знання досягається, насамперед, при рішенні задач і виконанні вправ.

2) Задачі для оволодіння математичною символікою. Однієї із цілей навчання математиці є оволодіння математичною мовою й, отже, математичною символікою. Найпростіші символи вводяться ще в початковій школі й в IVV класах (знаки дій, рівності й нерівності, дужки, знаки кута і його величини, паралельності й т.д.). Правильному вживанню досліджуваних символів треба навчати, розкриваючи при рішенні задач їхню роль і призначення.

3) Задачі для навчання доказам. Навчання доказам одна з найважливіших цілей навчання математиці.

Найпростішими задачами, з рішення яких практично починається навчання доказам, є задачіпитання й елементарні задачі на дослідження. Рішення таких задач полягає у відшуканні відповіді на питання й доказі його істинності.

ЗадачіПитання звичайно вимагають для свого рішення (доказу істинності відповіді) установлення однієї імплікації, одного логічного кроку від даних до доказуваного. Доказ же при рішенні більше складної задачі або доказ теореми являє собою ланцюжок кроківімплікацій.

Метою рішення задачпитань є усвідомлення, уточнення й конкретизація досліджуваних понять і зв'язків між ними. ЗадачіПитання необхідні також для засвоєння учнями символики і використовуваної мови. Приклади задачпитань:

х > в. Чи обов'язково x2 > в2?

Чи можуть дві бісектриси трикутника бути перпендикулярними? А дві висоти?

Задачі є невід'ємною складовою частиною курсу геометрії в середній школі. Дійсно, позбавлений задач курс елементарної геометрії представляв би собою лише групу теорем розміщених більшменш послідовно. Користі від вивчення такого курсу дуже мало.

Як відомо, вправи в геометрії залежно від умови й завдання ділять на три групи: задачі на обчислення, доказ і на побудову.