Сторінка
11

Розвиток логічного мислення учнів у процесі вивчення геометрії

Рис. 2.5. Приклад комп'ютерного демонстраційно – дидактичного матеріалу „Перетворення рівноскладених та рівновеликих багатокутників (рівнобічний трикутник у квадрат)”

Роль геометричних означень та понять

Проведений аналіз змісту „Навчального матеріалу та державних вимог до рівня загальноосвітньої підготовки учнів з геометрії у 79 класах” (див.Додаток А) показав, що основою програми навчання є послідовнологічний шлях введення геометричних означень та понять, на яких учні навчаються будувати власні судження та умовиводи.

Спроби викласти найважливіші математичні знання в певному логічному порядку, зв’язку й послідовності належали Гіпократу Хіоському(близько 450–430 рр. до н. е.). Потім вони продовжувалися Леоном, Тевдієм (V ст. до н. е.). Лише Евкліду вдалося завершити роботи своїх попередників.

“Начала” Евкліда складаються із 13ти книг (глав), до змісту яких входить, насамперед, вивчення геометричних фігур на площині, і оскільки для цього потрібні числа, то і вчення про цілі (додатні) числа і дроби. Відношення просторових фігур не завжди виражається раціональними числами, тому вивчаються також несумірні геометричні величини. Потім дослідження переноситься у простір.

Таким чином, у “Началах” викладені основи планіметрії, стереометрії й арифметики. Головна особливість “Начал” у тому, що вони побудовані за єдиною логічною схемою, яку розробив Арістотель (384–322 рр. до н. е.).

Геометричне твердження, якщо воно повне, складається із шести частин: 1) формулювання в загальних виразах; 2) постановка, яка відзначає конкретні дані, як правило, зображені у вигляді фігури; 3) визначення або вказівка (діорисмос), в якій вказується, що треба зробити або довести; 4) побудова, до якої входять додатки, необхідні для доведення; 5) саме доведення; 6) висновок, який повертається до формулювання і так само висловлюється в загальних виразах. Висновок не залежить від часткової фігури, яка є лише представником цілого класу таких фігур. В окремих твердженнях можуть бути відсутніми деякі з шести частин, в яких суворо витримано виклад від загальних положень до часткових. Проте це зовсім не означає, що індукція в “Началах” відсутня, як стверджують окремі історики, математики й філософи.

Індукція, рух від часткового до загального, від одиничних даних чуттєвого досвіду до раціонального узагальнення, до абстракції неминуче брала участь у творенні основних понять, їх означень, постулатів і аксіом, адже всі геометричні поняття і логічні прийоми виникли в результаті багаторазового досвідного повторення як відображення предметів, властивостей і зв’язків дійсного матеріального світу. Індукція входить у неявному вигляді в будьяке геометричне доведення і побудову. У “Началах” прослідковується єдність аналізу й синтезу, використання апагогічного методу доведення (доведення від супротивного), який є різновидом аналізу.

“Начала” починаються з означень, постулатів і загальних понять. Характер означень у Евкліда різний. Переважно вони описують поняття, наприклад “точка є те, що не має частин” (гл. І). Проте трапляються і номінальні (словесні) означення, які, як і перші, не мають стосунку до доведень, вони логічно не дійові. Евклід використовує також генетичні та аксіоматичні означення.

У першій главі сформульовано п’ять постулатів і дев’ять аксіом, із яких Евклід повинен був розвинути всю геометричну систему виключно логічним шляхом. Із сучасної точки зору, відмінностей між постулатами й аксіомами немає, і всі вони можуть називатись аксіомами.

Далі у 13ти книгах доводиться 470 тверджень, які слідують одне за одним без будьяких пояснень і міркувань про значення тієї чи іншої теми, твердження або хід доведення. Ця одноманітна манера викладу, переобтяжена різними частковими випадками, є однією з причин негативного ставлення в нові часи до “Начал” Евкліда як до навчального посібника у шкільному викладанні.

Чи вдалося Евкліду побудувати геометрію чисто дедуктивним способом, без посилання на наочність і очевидність, не вводячи неявно допоміжних тверджень, які не були вказані в аксіомах? Із сучасної точки зору, ми знаходимо логічні недоліки як в означеннях, так і (найбільше) в системі аксіом. Усі геометричні поняття мають бути суворо поділені на дві категорії: основні, які приймаються без означень (потрібні їх властивості повинні описуватися в аксіомах), і похідні поняття, які вводяться за допомогою означень, що пов’язують ці поняття з основними. Евклід у “Началах” не виділяє основних понять. Він намагається означити всі поняття геометрії (означення понять точки, лінії, поверхні й багатьох інших туманні та беззмістовні, тому й не використовуються ніде в доведеннях).

Можна сказати, що міркування Евкліда − це суміш логіки та інтуїції. Що стосується недоліків “Начал”, то потрібно підкреслити, що ці недоліки у великому творінні Евкліда в основному були помічені критичною думкою лише у ХІХ ст. Критична переробка основ геометрії є однією з найглибших і найважчих проблем математичної думки й одним із найзначніших її досягнень. Тому, відзначивши те, чого із сучасного погляду не вистачає у творі Евкліда, ми не можемо звинувачувати його, якщо врахуємо стан науки в той час. Навпаки, ми повинні визнати цей твір стародавнього світу прекрасним для тієї епохи за своєю продуманістю й точністю. Вони є завершенням, вінцем усього нагромадженого працями кількох поколінь стародавніх грецьких математиків і філософів, у них, як у фокусі, зібрані досягнення геометрії за величезний період культурного розвитку людства.

Подруге, “Начала” послужили джерелом, з якого черпали і на якому формувались уми багатьох видатних учених у наступні два тисячоліття, і основою для подальшого розвитку геометричних ідей. “Начала” Евкліда тісно пов’язані із сучасною людською культурою: з одного боку, всі сучасні шкільні підручники геометрії, за якими вчаться у школах усіх країн, так чи інакше мають своїм прообразом “Начала”.

Нарешті, велике історичне значення “Начал” Евкліда, як підкреслював Ф.Клейн, полягає в тому, що вони передали наступним поколінням ідеал цілком логічної обробки геометрії. “Начала” органічно пов’язані з розвитком обґрунтування математики загалом й геометрії зокрема.

Найхарактернішою особливістю математики є логічно послідовний ряд тверджень. Ця характерна риса точної науки яскраво виявилася вже в найдавніших її розділах арифметиці і геометрії.

Згодом з'явилися в математиці й формули особлива мова для запису міркувань і теорем, мова зручна, точна і лаконічна. Наприклад, відому теорему Піфагора можна сформулювати словами: “Квадрат гіпотенузи прямокутного трикутника дорівнює сумі квадратів катетів”. Але математик надасть перевагу короткій рівності:

Як бачимо, в теоремі Піфагора йдеться про властивість прямокутного трикутника. Узагалі, в будьякій теоремі чи формулі виражені властивості математичних об'єктів: чисел, фігур, математичних операцій, рівнянь, функцій .