Сторінка
15

Розвиток логічного мислення учнів у процесі вивчення геометрії

У задачах на обчислення потрібно виразити невідомі величини (відрізки, кути, площі, об'єми) або їхні відносини через відомі параметри. Якщо параметри дані в загальному виді, то результат виходить у буквах; якщо ж умова містить числові значення параметрів, відповідь доводиться до числа.

У задачах на доказ необхідно встановити наявність певних співвідношень між елементами розглянутої фігури: рівність або нерівність відрізків, кутів, паралельність або перпендикулярність прямих, площин і т.д. Іноді задачі цього типу можуть бути оформлені і як задачі на обчислення; наприклад, довести, що деякий кут дорівнює 45°, що об'єм однієї фігури в стількито раз більше об'єму іншої фігури.

Менш поширені задачі на дослідження. У таких вправах результат заздалегідь не повідомляється. Потрібно з'ясувати чи лежить деяка крапка на даній прямій (на даній площині), чи перетинаються дані окружності, чи паралельні дані прямі й т.п., визначити, який з даних відрізків більше, до якій зі сторін трикутника ближче дана крапка, установити залежність між перерахованими в умову елементами фігури.

У задачах на побудову невідомі величини визначаються в результаті виконання ряду геометричних побудов (за допомогою припустимих геометричних інструментів або в обумовленій проекції). Як правило, мова йде про побудову геометричної фігури за деяким даними про неї. У стереометрії нерідко замість відрізків і кутів дається зображення (наприклад, піраміди), на якому потрібно виконати побудову(наприклад, знайти перетин), тобто елементи фігури задаються їхнім положенням (на проекційному кресленні).

Вирішуючи задачі на побудову, учні здобувають перші теоретичні й практичні основи «графічної грамотності», знайомляться з найбільш уживаними прийомами їхнього рішення, з інструментами, використовуваними в різних умовах роботи (при креслярськоконструкторській практиці, при розмітці, при виконанні побудов на місцевості). У них розвиваються просторова уява, конструктивні здатності, кмітливість, винахідливість, тобто такі якості, які необхідні працівникам багатьох професій.

Доведення правильності рішення задачі і її дослідження сприяють кращому засвоєнню учнями теоретичного матеріалу, розвитку їхнього логічного мислення.

Навчання учнів геометричним побудовам переслідує дві мети: навчання виконанню властиво геометричних побудов і навчання рішенню задач на побудову.

Природно, що кожному із цих питань у різних класах повинна бути приділене різна увага.

В VI класі основна увага звертається на навчання учнів виконанню найпростіших геометричних побудов і їхньому систематичному використанню при формуванні й закріпленні найважливіших понять: перпендикулярність і паралельність прямих, найголовніші лінії в трикутнику, симетрія відносно прямій і т.д.

До кінця VI класу учні повинні одержати вже досить міцні навички в рішенні ряду конструктивних задач, включених у програму VI класу, коштовних із практичної точки зору й необхідних для подальшого вивчення матеріалу.

До цих побудов відносяться різні прийоми побудови відрізка, рівного даному, масштабною лінійкою або циркулем і лінійкою (немасштабної); дії над відрізками (у тому числі ділення відрізка навпіл) за допомогою масштабної лінійки або циркуля й лінійки (немасштабної); наближене ділення кута навпіл циркулем; побудова кута, рівній даному, транспортиром або циркулем і лінійкою; побудова прямого кута креслярським трикутником; дії, вироблені над кутами малкою, транспортиром, циркулем і лінійкою (немасштабною); побудова паралельних і перпендикулярних прямих різними прийомами.

В VII класі перед учителем стоять більш широкі задачі по вивченню й використанню геометричних побудов, у тому числі рішенню задач на побудову. Триває навчання виконанню деяких нових побудов і проводиться систематичне закріплення придбаних в VI класі вмінь; як і раніше, геометричні побудови використовуються при формуванні й закріпленні геометричних понять, а також для доказу існування деяких геометричних фігур.

Новими побудовами для учнів VII класу є: побудова центральносиметричних фігур, ділення відрізка на рівні частини, побудову окружності по трьох її крапках, ділення дуг окружності на рівні часта, ділення дуг і хорд окружності навпіл, проведення дотичної до окружності через дану крапку.

В VII класі триває формування вмінь учнів вибирати різні прийоми побудови залежно від умови задачі. Так, наприклад, перед ними може бути поставлене питання, яким способом вони будуть проводити через дану крапку дотичну до даної окружності, якщо:

а) крапка лежить поза окружністю й центр окружності невідомий,

б) крапка лежить на окружності й центр окружності невідомий,

в) крапка лежить на окружності, а центр окружності перебуває поза кресленням.

В VIII класі число нових побудов досить обмежене це ділення відрізка в даному відношенні, побудова фігур, подібних даним, побудова кутів за заданим значенням їхніх тригонометричних функцій і побудова правильних багатокутників. Таким чином, основна увага тут приділяється закріпленню раніше вивчених побудов і рішенню задач на побудову.

Продумуючи систему роботи з навчання школярів геометричним побудовам, особлива увага варто приділити методиці навчання рішенню задач на побудову.

Щоб знайти рішення, потрібно спочатку вивчити умова задачі, подивитися, які елементи шуканого трикутники дані. Для цього накреслимо довільний трикутник А1У1С1 (рис.3.7) і відзначимо елементи, що відповідають даним за умовою. Нехай це буде сторона А1С1 і кут З1А1У1. Але на кресленні немає різниці двох інших сторін. А тому що для рішення задачі ми повинні врахувати всі дані, то потрібно показати й різниця.

Рис. 3.7

Це можна зробити чотирма способами: на меншій стороні відкласти більшу від крапки З1 або від крапки В1 або на більшій відкласти меншу й знову відкладати як від крапки В1, так і від крапки А1. Якщо різниця буде біля крапки В1, то тоді дані не зв'язані між собою й не можна намітити план рішення. Якщо ж В1 А1 відкладемо від крапки В1 на В1С1, то дані: підстава, кут при підставах і різниця двох інших сторін – будуть зв'язані між собою, але й цей зв'язок не дає можливості намітити план рішення, вона недостатньо тверда, щоб побудувати, відновити фігуру Д2C1A1B1. Найкраще ввести різницю, відкладаючи B1D1 = B1C1, тому що в цьому випадку ми вже зможемо відновити фігуру З1А1Д1. Конкретизувавши в такий спосіб дані задачі, приступаємо до складання плану рішення.

Побудувавши в довільної прямий відрізок, дорівнює підставі, одержимо дві вершини трикутника: А1 і З1. Знаючи кут З1А1У1, ми можемо знайти й положення крапки D1, де D1А1 = В1А1 – В1С1. Залишається розглянути, як побудувати крапку В1 знаючи положення крапки D1. Тому що З1У1 = В1D1, то крапка В1 равноудалена від крапок З1 і D1, тому вона повинна лежати на перпендикулярі Р1Q1, проведеному до відрізка З1D1 через його середину. Крапка перетинання прямій Р1Q1 і лучачи А1D1 і буде крапкою В1. Отже, приходимо до наступної побудови. На довільній прямій відкладаємо відрізок, дорівнює підставі, і будуємо кут, рівний даному, одна зі сторін якого містить побудований відрізок, а вершина збігається з кінцем цього відрізка. На другій стороні кута відкладаємо відрізок, рівний різниці двох інших сторін трикутника, і будуємо геометричне місце крапок, равноудаленных від відповідних кінців підстав і побудованого відрізка. Крапку перетинання цього геометричного місця зі стороною кута, що містить різниця, з'єднуємо з кінцем підставі й одержуємо шуканий трикутник.