Сторінка
4

Лінійна однорідна система з постійними коефіцієнтами. Застосування теорії диференціальних рівнянь в економіці

Склавши лінійну комбінацію одержаних розв’язків ( за стовпчиками) , отримаємо шуканий загальний розв’язок системи

Зауваження.Аналогічно розв’язуються системи лінійних диференціальних рівнянь вищих порядків з постійними коефіцієнтами. Такі рівняння виникають, наприклад, при дослідженні коливань конструкції літака , в теорії електричних кіл, квантовій механіці тощо.

12.12. Лінійна неоднорідна система диференціальних

рівнянь із сталими коефіцієнтами

Лінійна неоднорідна система диференціальних рівнянь із сталими коефіцієнтами в матричній формі має вигляд (12.61)

де причому неперервні на функції, , постійні числа.

Загальний розв’язок неоднорідної системи (12.61) дорівнює сумі загального розв’язку однорідної системи (12.62) і частинного розв’язку неоднорідної системи

(12.68)

Доведення цього твердження аналогічне доведенню для лінійного диференціального рівняння - го порядку.

Метод знаходження загального розв’язку однорідної системи розглядався в п.12.11.

Нехай загальний розв’язок системи (12.62). Тоді частинний розв’язок неоднорідної системи (12.61) будемо шукати за методом варіації довільних сталих

(12.69)

Диференціюючи рівність (12.118), одержимо

Підставляємо даний вираз в рівняння (12.61)

Але фундаментальна матриця задовольняє однорідне рівняння тому і ми одержимо рівняння

з якого знаходимо

Інтегруючи останню рівність, будемо мати

(12.70)

Інтегрування матриці означає інтегрування кожного її елемента. Підставляючи знайдену матрицю-стовпець в (12.118), знайдемо а за формулою (12.117) і загальний розв’язок неоднорідної системи.

Приклад 8. Розв’язати систему

Р о з в ‘ я з о к. Розглянемо однорідну систему

легко перевірити, що її загальний розв’язок буде

В матричній формі цей розв’язок виглядає так:

де

Крім того,

Знайдемо обернену до матрицю:

Тоді

Інтегруючи одержану матрицю, знаходимо

Тоді за формулою (12.69) маємо

Отже, частинний розв’язок має вигляд

Загальний розв’язок системи можна записати у формі

12.13. Застосування теорії диференціальних рівнянь

в економіці

Розглянемо деякі приклади застосування теорії диференціальних рівнянь першого порядку в неперервних моделях економіки, де незалежною змінною є час Такі моделі досить ефективні при дослідженні еволюції економічних систем на тривалих проміжках часу; вони є предметом дослідження економічної динаміки.

12.13.1. Модель природного росту випуску продукції

Нехай деяка продукція продається за фіксованою ціною Позначимо через кількість реалізованої продукції за час тоді на цей момент часу одержаний дохід дорівнює Частина вказаного доходу витрачається на інвестиції у виробництво, тобто: