Сторінка
5

Лінійна однорідна система з постійними коефіцієнтами. Застосування теорії диференціальних рівнянь в економіці

(12.71)

де норма інвестиції (постійне число), причому

Якщо виходити із припущення про не насиченість ринку (або про повну реалізацію випущеної продукції), то в результаті розширення виробництва буде отриманий приріст доходу, частина котрого знову буде використана для розширення випуску продукції. Це приведе до росту швидкості випуску (акселерації), причому швидкість випуску пропорційна збільшенню інвестицій, тобто

(12.72)

де норма акселерації. Підставивши в (12.71) формулу (12.72). одержимо

(12.73)

Це диференціальне рівняння першого порядку з відокремлюваними змінними. Його загальний розв’язок а частинний розв’язок. Нехай в початковий момент часу заданий об’єм випуску продукції звідки

Тоді одержимо частинний розв’язок, що задовольняє початкову умову,

(12.74)

12.13.2. Ріст випуску в умовах конкуренції

В цій моделі ми не будемо припускати, що ринок не насичується. Нехай спадна функція, тобто із збільшенням об’єму продукції на ринку ціна на нього не падає (). Тепер із формул (12.71)-(12.73) одержимо нелінійне диференціальне рівняння першого порядку з відокремлюваними змінними

(12.75)

Оскільки всі члени в правій частині цього рівняння додатні, то тобто функція зростаюча. Характер зростання функції визначається за допомогою похідної другого порядку

Цю рівність можна перетворити, ввівши еластичність попиту

звідки або , оскільки а, значить і одержимо

(12.76)

Із рівняння (12.76) випливає, що при еластичному попиті, тобто коли і графік функції має випуклість вниз, що означає прогресуючий ріст; при нееластичному попиті напрям випуклості функції вверх, що означає сповільнений ріст (насичення).

Для простоти візьмемо залежність лінійну (рис.12.3), тобто

Тоді рівняння (12.75) приймає вигляд

(12.77)

звідки

(12.78)

Із співвідношень (12.77) і (12.78) одержимо: і при при і при точка перегину графіка функції Приведений на рис.12.4 графік цієї функції (однієї із інтегральних кривих диференціального рівняння (12.77) ) – це логістична крива .

Рис. 12.3 Рис.12.4

Аналогічні криві характеризують і інші процеси, наприклад розмноження бактерій в органічному середовищі, динаміку епідемій всередині обмеженої спільності біологічних організмів тощо.

12.13.3. Динамічна модель Кейнса

Розглянемо найпростішу балансову модель, що включає в себе основні компоненти динаміки витратної та дохідної частин економіки. Нехай відповідно національний дохід, державні витрати, споживання і інвестиції. Всі ці величини розглядаються як функції часу . Тоді справедливі такі співвідношення: