Сторінка
5

Квадратичні форми, їх приведення до діагонального (канонічного) вигляду

Балансовий принцип зв’язку різних галузей промисловості полягає в тому, що валовий випуск ої галузі повинен дорівнювати сумі об’ємів споживання в виробничій і невиробничій сферах. В найпростішій формі (гіпотеза лінійності) балансові співвідношення мають вигляд

(4.35)

Рівняння (4.35) називаються рівняннями балансу.

В. Леонт’євим, на основі аналізу економіки США в період перед другою світовою війною, був встановлений важливий факт: на протязі тривалого часу величини змінюються дуже мало, а тому їх можна вважати постійними. Це явище стає зрозумілим в світлі того, що технологія виробництва залишається на одному й тому ж рівні тривалий час, а, значить, об’єм споживання ою галуззю продукції ої галузі при виробництві своєї продукції об’єму є технологічна константа.

В силу вказаного факту можна зробити таке припущення: для виробництва продукції ої галузі об’му потрібно використовувати продукцію ої галузі об’єму де постійні числа. При такому припущенні технологія виробництва приймається лінійною, а саме це припущення називається гіпотезою лінійності. При цьому числа називаються коефіцієнтами прямих затрат. Згідно з гіпотезою лінійності

(4.36)

Тоді рівняння (4.35) можна записати в матричній формі

(4.37)

де вектор-стовпець об’єму виробленої продукції (вектор валового випуску), вектор-стовпець об’єму продукції кінцевого споживання (вектор кінцевого споживання), матриця коефіцієнтів прямих затрат:

(4.38)

Переважно співвідношення (4.37) називають рівнянням лінійного міжгалузевого балансу. Разом з описанням матричного представлення (4.38) це рівняння носить назву моделі Леонт’єва.

Рівняння міжгалузевого балансу можна використовувати вдвох випадках: 1) коли відомий вектор валового випуску , а потрібно розрахувати вектор кінцевого споживання 2) з метою планування із наступним формулюванням задачі: для періоду відомий вектор кінцевого споживання і потрібно визначити вектор валового випуску.

Система (4.37) має ту особливість, що всі елементи матриці і векторів повинні бути невід’ємними.

Матриця всі елементи якої невід’ємні, називається продуктивною, якщо для довільного вектора з невід’ємними компонентами існує розв’язок рівняння (4.37) – вектор всі елементи якого невід’ємні. В такому випадку і модель Леонт’єва називається продуктивною.

Для рівнянь типу (4.37) розроблена відповідна математична теорія дослідження розв’язку і його особливостей. Приведемо без доведення важливу теорему про продуктивність матриці

Теорема. Якщо для матриці з невід’ємними елементами і деякого вектора з невід’ємними компонентами рівняння (4.37) має розв’язок з невід’ємними компонентами, то матриця продуктивна.

Очевидно, що розв’язок (4.37) має вигляд :

(4.39)

Матриця називається матрицею повних затрат.

Існує декілька критеріїв продуктивності матриці Приведемо два з них.