Сторінка
1

Монотонність функції, необхідні і достатні умови. Eкстремум функції однієї та декількох змінних

План

• Монотонність функції, необхідні і достатні умови
• Екстремум функції, необхідні і достатні умови
• Найбільше і найменше значення функції на замкнутому проміжку
• Екстремум функції декількох змінних.
• Необхідні і достатні умови екстремуму для функції двох змінних
• Найбільше та найменше значення функції в обмеженій замкнутій області

1. Екстремуми функцій

1.1. Зростання і спадання функцій

Дамо ряд означень. Припустимо, що функція визначена на деякому проміжку а є внутрішньою точкою цього проміжку.

Означення. Функція називається зростаючою (спадною) в точці , якщо існує окіл точки , який міститься в проміжку і є такий, що для всіх і ) для всіх .

Означення. Якщо функція є зростаючою (спадною) в кожній внутрішній точці проміжку то вона називається зростаючою (спадною) на цьому проміжку.

2.Достатні ознаки зростання (спадання) диференційованої функції.

Теорема. Якщо функція у внутрішній точці має похідну і , то функція в точці зростає (спадає).

Д о в е д е н н я. Розглянемо випадок, коли .

Скористаємось означенням похідної

,

де .

Тоді з попередньої рівності та умови теореми маємо

.

При цьому знайдеться окіл точки такий, що для всіх крім, можливо, точки справджуватиметься нерівність .

Нехай , тобто . Тоді з попередньої нерівності маємо, що й .

Нехай , тобто . Тоді з тієї самої нерівності дістаємо, що .

Отже, існує окіл точки такий, що для всіх матимемо , а для всіх , а це й означає, що в точці функція є зростаючою.

Теорему доведено.

Аналогічно доводиться випадок, коли .

3. Інтервали, на яких функція зростає (спадає), називаються інтервалами монотонності функції. Згідно з доведеним, у диференційованої функції на інтервалі зростання , на інтервалі спадання . Якщо похідна функції неперервна, то розділяти інтервали монотонності можуть лише точки, в яких , оскільки зміна знаку неперервної функції можлива лише при переході через її нуль. Точка, в якій , називається точкою стаціонарності функції . Зауважимо, що кожна точка стаціонарності розділяє інтервали монотонності (наприклад, функції і мають точку стаціонарності ; ця точка для розділяє, а для не розділяє інтеграли монотонності похідної функції , то інтервали монотонності можуть розділяти не лише точки стаціонарності . Наприклад, для точка розділяє інтервали монотонності, в цій точці і похідна функції не існує.