Сторінка
1

Задача Коші. Лінійні диференціальні рівняння із сталими коефіцієнтами. Загальний та частинний розв’язки

План:

1. Задача Коші

2. Лінійні диференціальні рівняння із сталими коефіцієнтами. Загальний та частинний розв’язки.

1. Задача Коші.

Для диференціальних рівнянь вищих порядків, як і для рівнянь першого порядку, розглядається задача Коші або задача з початковими умовами. Для рівняння (1) ця задача ставиться так: серед усіх розв’язків рівняння (1) знайти такий розв’язок який при

задовольняє такі умови:

(1)

або

(2)

де - довільні наперед задані дійсні числа.

Умови (2) називають початковими умовами рівняння (1). Зокрема, рівняння другого порядку

початкові умови при х=х0 мають вигляд

Існування і єдність розв’язку задачі Коші визначають такою теоремою Коші.

Теорема 2. Якщо функція f(x,y,y’,…,y(n-1)) і її похідні по аргументам у, у’, .,у(п-1) то для всякої точки (х0, у0, у’0, ., )існує єдиний розв’язок у=у(х) рівняння (1), який задовольняє початкові умови (2).

Приймемо дану теорему без доведення. Слід звернути увагу на те , що в цій теоремі мова йде про єдність розв’язку в (п+1) вимірному просторі: інакше кажучи, єдність розв’язку рівняння (1) з умовами (2) на відміну від диференціального рівняння першого порядку не означає , що через задану точку (х0; у0) проходить лише одна інтегральна крива рівняння (1). Так, для рівняння (3) єдність розв’язку з умовами (4) означає, що через точку (х0; у0) проходить лише інтегральна крива рівняння (3) з кутовим коефіцієнтом дотичної в цій точці, який дорівнює (мал ) . Проте через цю точку можуть проходити й інші інтегральні криві, але з іншим нахилом дотичної.

Нарешті, зупинимось на поняттях загального та частинного розв’язку рівняння (1). Як ми вже бачили, загальний розв’язок рівняння першого порядку знаходиться за допомогою операції інтегрування і містить одну довільну сталу. В загальному випадку розв’язок диференціального рівняння п-го порядку знаходиться в результаті п послідовних інтегрувань, тому загальний розв’язок рівняння (1) містить п довільних сталих, тобто має вигляд

(5)

Якщо загальний розв’язок знаходиться в неявній формі:

(6)

то його називають загальним інтегралом рівняння (1).

Частинний розв’язок або частинний інтервал знаходять із загального , якщо у співвідношенні (5) або (6) кожній довільній сталій С1, С2, ., Сп надати конкретного числового значення. З погляду геометрії загальним розв’язком рівняння (1) є п-параметрична сім’я інтегральних кривих, залежних від п параметрів С1, С2, ., Сп, а частинний розв’язок - окрема крива з цієї сім’ї.

Зауважимо, що не кожний розв’язок рівняння (1), який містить п довільних сталих, є загальним розв’язком. Розв’язок (5) диференціального рівняння (1), який містить п довільних сталих, називається загальним розв’язком , якщо можна знайти такі єдині сталі С1=С10, С2=С20, ., Сп=Сп0, що частинний розв’язок задовольняє початкові умови (54).

Таким чином, розв’язати (проінтегрувати ) диференціальне рівняння п-го порядку – це означає: 1). Знайти його загальний розв’язок ; 2). Із загального розв’язку виділити частинний розв’язок, який задовольняє початкові умови, якщо такі умови задані.

2. Лінійні диференціальні рівняння із сталими коефіцієнтами. Загальний та частинний розв’язки.

Розглянемо лінійне однорідне рівняння другого порядку

(1)

де p, q –дійсні числа.

Ейлер запропонував шукати частинні розв’язки цього рівняння у вигляді

(2)

де k – стала (дійсна чи комплексна), яку треба знайти. Підставивши функцію (2) в рівняння (1) дістанемо

Оскільки , то

(3)

Отже, якщо k буде коренем рівняння (3), то функція (2) буде розв’язком рівняння (1). Квадратне рівняння (3) називається характеристичним рівнянням диференціального рівняння (1).

Позначимо корені характеристичного рівняння через k1 і k2 . Можливі три випадки:

І. k1 і k2 – дійсні і різні числа ();

ІІ k1 і k2 – комплексні числа (;

ІІІ. k1 і k2 – дійсні і рівні числа ( k1=k2).

Розглянемо кожен випадок окремо.

І. Корені характеристичного рівняння дійсні і різні: . У цьому випадку частинними розв’язками рівняння (1) є функції