Сторінка
2

Задача Коші. Лінійні диференціальні рівняння із сталими коефіцієнтами. Загальний та частинний розв’язки

Ці розв’язки лінійно незалежні, тому що при

Згідно з теоремою 4 загальний розв’язок рівняння (1) знаходять за формулою

(4)

ІІ. Корені характеристичного рівняння комплексно-спряжені:

Підставивши значення у формулу (2), знайдемо розв’язки

За формулою Ейлера

маємо

Зауважимо, що коли функція є розв’язком рівняння (1), то розв’язками будуть також функції u(x) та v(x). Дійсно, підставивши функцію z(x) в рівняння (1), дістанемо:

Або

Остання тотожність можлива, коли вирази в дужках дорівнюють нулю. Це означає, що функції u та v – розв’язки рівняння (1). Згідно з цим зауваженням частинними розв’язками рівняння (1) є функції

Ці розв’язки лінійно незалежні, оскільки

Тому загальний розв’язок рівняння (1) запишеться у вигляді

(5)

ІІІ. Корені характеристичного рівняння дійсні і рівні . За формулою (2) дістанемо один з розв’язків:

Другий розв’язок шукатимемо у вигляді де u – невідома функція від х. Знайшовши і та підставивши їх у рівняння (1), дістанемо

Або

Оскільки k – корінь рівняння (3), то і за теоремою Вієта , тому звідки - довільні сталі. Поклавши С1=1, С2=0 (нас цікавить який-небудь розв’язок , знайдемо другий частинний розв’язок рівняння (1):

Розв’язки - лінійно незалежні, тому загальний розв’язок рівняння (1) має вигляд

Приклад

Знайти загальний розв’язок рівняння

Складемо характеристичне рівняння і знайдемо його корені За формулою (4) шуканий розв’язок має вигляд:

Неоднорідні диференціальні рівняння другого порядку із сталими коефіцієнтами. Рівняння із спеціальною правою частиною.

Розглянемо неоднорідне диференціальне рівняння

(5)

де p, q – задані дійсні числа , - задана функція, неперервна на деякому проміжку (a;b).

Загальний розв’язок такого рівняння являє собою суму частинного розв’язку рівняння (5) і загального розв’язку відповідного рівняння. Загальний розв’язок однорідного рівняння ми вже знаходити вміємо, тому розглянемо детальніше питання про знаходження частинного розв’язку неоднорідного рівняння.

Насамперед слід зазначити, що частинний розв’язок неоднорідного диференціального рівняння (5) можна знайти в квадратурах методом варіації довільних сталих. Проте для рівнянь із спеціальною правою частиною частинний розв’язок можна знайти значно простіше, не вдаючись до операції інтегрування.

Розглянемо деякі з таких рівнянь.

І. Нехай права частина в рівнянні (5) має вигляд

(6)

Де - дійсне число, - многочлен степеня п.

Можливі такі випадки:

А). число не є коренем характерного рівняння

(7)

Тоді диференціальне рівняння (5) має частинний розв’язок виду

(8)

де А0, А1, ., Ап – невизначені коефіцієнти.

Справді, підставляючи функцію (8) в рівняння (6), після скорочення на дістанемо

(5)

де - многочлен степеня п-2, - многочлен степеня п. Таким чином, зліва і справа в тотожності (5) стоять многочлени степеня п. Порівнюючи коефіцієнти при однакових степенях п, дістанемо систему п+1 невідомих коефіцієнтів Аі многочлена Qn(x).

Не зупиняючись далі на доведеннях, вкажемо форму в якій потрібно шукати частинний розв’язок рівняння (5), залежно від виду правої частини f(х) цього рівняння:

Б). якщо число збігається з одним коренем характеристичного рівняння (7), тобто є простим коренем цього рівняння, то частинний розв’язок рівняння (5) треба шукати у вигляді

(6)

В). якщо число є двократним коренем рівняння (93), то частинний розв’язок рівняння (5) шукають у вигляді