Сторінка
7

Квадратичні форми, їх приведення до діагонального (канонічного) вигляду

Тоді, якщо весь бюджет витрачається тільки на закупки всередині країни і зовні неї (це можна трактувати як торговий бюджет), справедлива рівність

(4.42)

Матриця (4.41) із властивістю (4.42) називається структурною матрицею торгівлі. Для ої країни загальна виручка від внутрішньої і зовнішньої торгівлі виражається формулою

(4.43)

Умова збалансованої (бездефіцитної) торгівлі формулюється природнім чином: для кожної країни її бюджет повинен бути не більшим за виручку від торгівлі, тобто або

(4.44)

Покажемо, що в умові (4.44) можливий тільки знак рівності. Дійсно, додавши всі ці нерівності і згрупувавши доданки з величинами бюджетів одержимо

Неважко замітити, що в дужках стоять суми елементів матриці за її стовпцями , що дорівнюють одиниці згідно умови (4.42). Отже, ми одержали нерівність а це означає, що можливий тільки знак рівності.

Таким чином, із (4.44) ми одержимо

(4.45)

В матричній формі систему рівнянь (4.45) запишеться так:

або (4.46)

де вектор бюджетів, кожна компонента якого характеризує бюджет відповідної країни. Це рівняння означає, що власний вектор структурної матриці що відповідає її власному значенню складається із бюджетів країн бездефіцитної міжнародної торгівлі.

Приклад 2. Структурна матриця торгівлі чотирьох країн має вигляд

Знайти бюджети цих країн, що задовольняють збалансованій бездефіцитній торгівлі при умові, що сума бюджетів задана:

Р о з в ‘ я з о к. Необхідно знайти власний вектор , що відповідає власному значенню тобто знайти ненульові розв’язки системи (4.46)

Оскільки ранг цієї системи дорівнює трьом, то одна невідома буде вільною невідомою, а інші через неї виражаються. Розв’язуючи систему методом Гаусса, знаходимо компоненти власного вектора

Підставивши знайдені значення в задану суму бюджетів, визначимо величину

Звідси остаточно отримаємо шукані величини бюджетів країн при бездефіцитній торгівлі: