Сторінка
3

Квадратичні форми, їх приведення до діагонального (канонічного) вигляду

В результаті здійснення першого кроку рівняння (4.24) набуває вигляду

4.28)

2. Другий крок полягатиме в тому, щоб паралельним перенесенням системи координат позбутися або всіх членів з першими степенями , і , або двох із них, або лише одного. Рівняння (4.25) спрощується так само. Різниця лише в тому, що вказані два етапи будуть значно простішими, бо в (4.25) маємо справу не з трьома, а з двома змінними.

Питання про спрощення квадратичних форм розглядалося в попередньому параграфі

Перший етап. Поворот системи координат.

Знаходимо корені характеристичного рівняння:

Нехай коренями цього рівняння (власними значеннями) відносно є числа .

Тоді рівняння (4.24) можна записати у вигляді (4.28) після того, коли буде знайдене ортогональне перетворення, яке переводить квадратичну форму (4.26) в (4.27). Знаходження ортогонального перетворення потрібне для того, щоб обчислити коефіцієнти в (4.28). Ортогональне перетворення з геометричної точки зору є повертанням системи координат на такий кут, щоб осі координат збігалися з осями симетрії поверхні, якщо вона має три осі симетрії. У випадках двох осей симетрії - щоб дві з осей координатної системи збіглися з осями симетрії, у випадку однієї з осей симетрії - з однією з осей координат.

Другий етап. Паралельне перенесення системи координат.

Тепер матимемо справу з рівнянням (4.28). У ньому мусить бути хоч одне з відмінним від нуля. Для спрощення рівняння (4.28) здійснимо паралельне перенесення системи координат за формулами

(4.29)

Для цього формули (4.29) підставимо в (4.28). Після елементарних перетворень одержимо:

(4.30)

Якщо кожне з не дорівнює нулю, то члени з можна перетворити в нуль, підібравши так, щоб .

Звідси знаходимо

У цьому випадку рівняння поверхні набуває вигляду

(4.31)

де

Поверхня (4.31) буде або еліпсоїдом, або однопорожнинним гіперболоїдом (дійсним чи уявним), або двопорожнинним гіперболоїдом, або єдиною точкою, або конусом, або уявним еліпсоїдом. Читачеві пропонується розібратися в цьому самостійно.

Припустимо, що серед величин одна, наприклад , дорівнює нулю. Тоді в (4.30) неможливо знищити коефіцієнт при (чому?). Тому для визначення потрібно прирівняти до нуля коефіцієнти при і , а також вільний член.

В результаті одержимо поверхню

У цьому випадку будемо мати або еліптичний, або гіперболічний параболоїд, або пару площин, що перетинаються, або пару уявних площин, що перетинаються по спільній дійсній осі. Якщо в (4.31) , то матимемо ще крім того еліптичний циліндр (дійсний або уявний), гіперболічний циліндр. І тут читачеві слід вияснити, за яких умов можуть трапитись вказані випадки.

Нехай серед величин дві, наприклад і , дорівнюють нулю. Тоді (4.30) набере вигляду

(4.32)

Тут, звичайно, можна підібрати так, щоб . Тоді рівність (4.32) запишеться так:

(4.33)

Далі здійснимо підстановку

Вона зведе останню рівність до такої:

.

Звідси

(4.34)

Поверхня (4.34) є параболічним циліндром з твірними, паралельними осі , а його напрямною є парабола.

Якщо в (4.34) , то одержимо рівняння

.

При це рівняння описує пару уявних паралельних площин, а при - пару дійсних паралельних площин.

Якщо в (4.33) , то (4.33) - пара площин, що збігаються.

Зведення рівняння кривої другого порядку до канонічного вигляду здійснюється за тією ж схемою, що й рівняння (4.24). Різниця лише в тому, що змінних тут на одну менше, а тому характеристичне рівняння буде не кубічним, а квадратним; систем рівнянь для знаходження власних векторів буде лише дві і при тому ще кожна система рівнянь складатиметься не з трьох рівнянь, а з двох.