Сторінка
2

Розв'язування задач на побудову в 7-9 класах курсу планіметрії середньої загальноосвітньої школи

На першому уроці особливо важливо, щоб учні зрозуміли, що геометричним місцем точок є:

1) геометрична фігура;

2) вона складається з усіх точок площини, які мають певну властивість.

Щоб перевірити, як учні зрозуміли означення геометричного місця точок, можна запропонувати їм встановити, чи однаковий зміст мають такі висловлення, і пояснити відповідь: 1) усі семикласники йдуть на екскурсію; 2) тільки семикласники йдуть на екскурсію; 3) усі і тільки семикласники йдуть на екскурсію.

Для закріплення структури поняття геометричного місця точок можна розв'язати вправи на розпізнавання із стверджувальною і заперечною відповідями.

Після закріплення структури означення поняття слід розв'язати задачі на знаходження геометричних місць точок двох видів: задачі, в яких сукупність точок з даною властивістю утворює одну геометричну фігуру, і задачі, в яких шукане геометричне місце точок складається з двох фігур.

Поетапне розв'язування задач та пошук способу побудови

У 8-9 класах під час розв'язування задач на побудову корисно виділяти етапи розв'язування. З цією метою уточнюємо і поглиблюємо знання учнів про пошук способу побудови і доведення правильності виконаної побудови. Вивчивши тему «Перетин прямої з колом», вводимо новий для учнів етап розв'язування — дослідження і закріплюємо його на кількох задачах. Важливо, щоб учні ознайомились з усіма етапами. Для цього час від часу доцільно пропонувати їм виконувати повне розв'язування задач і стисло записувати його в зошитах.

Дотримання етапів розв'язування задач на побудову робить міркування учнів більш цілеспрямованими і логічно послідовними, привчає до повноти розв'язування будь-яких математичних задач. Проте не слід прагнути проводити їх у кожній задачі на побудову. В одній задачі заслуговує на увагу аналіз, у другій — цікава сама побудова, у третій — повчальним є доведення або дослідження.

При знаходженні способу побудови слід користуватися різними формами міркувань.

Аналітична форма міркувань. Позначимо задачу (де X — вимога задачі, А — дані її умови).

Перший етап аналізу полягає в тому, що припускаємо шукану фігуру побудованою (X — відомим) і всі умови задачі здійсненими. Це дає можливість зіставленням даних і шуканих елементів встановити зв'язки між ними. Якщо таке зіставлення безпосередньо не дає ключа для побудови фігури, то переформульовуємо задачу в допоміжну задачу , (де — переформульовані дані умови, — переформульована вимога), розв'язування якої повинно бути простішим і забезпечити розв'язування основної задачі. Якщо при цьому виявиться відомим спосіб побудови, то аналіз закінчуємо. Якщо ж спосіб побудови в допоміжній задачі залишається невідомим, то замінюємо її другою допоміжною задачею , розв'язування якої має забезпечити розв'язування задачі , а отже, і задачі . Так робимо доти, поки не приходимо до якоїсь задачі , побудова якої відома і забезпечує побудову в задачі .

Синтетична форма міркувань. При синтетичній формі міркувань, застосовуючи всю або частину умови задачі, складаємо і розв'язуємо першу допоміжну задачу . Потім, використовуючи результати розв'язування цієї задачі, складаємо і розв'язуємо другу допоміжну задачу і т. д., поки не буде розв'язано основну задачу .

Спосіб розв'язування задачі на побудову можна відшукувати, використовуючи як аналітичну, так і синтетичну форму міркувань. Проте, якщо задача складна, то при синтетичній формі міркувань немає критерію, з яких даних слід починати побудову, які допоміжні величини потрібно визначити, як вибрати наступні допоміжні задачі. Тому рекомендується при відшуканні способу розв'язування задачі надавати перевагу аналітичній формі міркувань, тобто аналітичному методу.

Пошук способу побудови починаємо з аналізу структури задачі, який включає насамперед осмислення даних і властивостей шуканої геометричної фігури. Важливим питанням при аналізі структури задачі є встановлення визначеності шуканої фігури — достатності або недостатності даних елементів для її побудови. Шкільні задачі, в основному, визначені. Звикнувши до цього, учні намагаються розв'язувати і такі задачі, в яких дані не визначають фігуру або при яких фігура не існує.

У процесі розв'язування задач на побудову можна ознайомити учнів з тим, як встановлювати достатність даних для розв'язування задачі. Основну увагу приділяємо питанням: а) скільки кутових і лінійних елементів визначають фігуру; б) якими є ці елементи.

У вправах з неповною вхідною інформацією немає деяких даних, внаслідок чого виконати однозначно побудову неможливо, задача матиме безліч розв'язків. Побудову можна виконати, ввівши дані, яких не вистачає. А це можливо тоді, коли учень уміє виділяти елементи, достатні для існування заданих в умові фігур.

Перед розв'язуванням задач даного виду учням ставлять запитання: Чому не можна однозначно виконати побудову? Яких даних не вистачає?

Зустрічаються задачі, які містять зайву інформацію. Розв'язуючи їх, учень повинен вміти із сукупності даних в умові величин виділити ті, які утворюють систему відношень, необхідних і достатніх для розв'язування задачі, а також виділити зайві дані і пояснити, чому вони зайві.

Проаналізувавши структуру задачі, починаємо пошуки способу побудови. Тут важливо добути з даних фігур максимально корисну інформацію, вибрати потрібний прийом побудови, знайти аналогічну задачу. Цьому сприяє уміння узагальнено сприймати умову задачі, внаслідок чого учень виділяє ті зв’язки і відношення між даними і шуканими фігурами, які мають основне смислове математичне навантаження.

Методи геометричних перетворень

Розв'язування задач на побудову методами геометричних перетворень має велике методичне значення. Ці методи дають можливість знаходити плани розв'язування багатьох змістовних конструктивних задач, спрощувати побудови шуканих фігур і відшукувати деякі загальні способи їх побудови.

Залежно від виду перетворення при розв'язуванні задач на побудову використовуємо метод симетрії, метод повороту, метод паралельного перенесення та метод подібності. Ідея застосування методів перетворення до розв'язування задач на побудову така: якщо властивості шуканих елементів фігури, яку потрібно побудувати, неможливо знайти при безпосередньому вивченні малюнка-ескіза, то перетворюють геометрично або всю фігуру, або її елементи. Після цього легше виявити властивості шуканих елементів фігури і знайти спосіб побудови.