Сторінка
3

Розв'язування задач на побудову в 7-9 класах курсу планіметрії середньої загальноосвітньої школи

Засвоєння учнями методів геометричних перетворень значною мірою залежить від правильного добору тренувальних вправ.

Метод симетрії

Суть методу симетрії можна сформувати так:

1) на малюнку-ескізі дану фігуру (або один чи кілька її елементів) замінюють фігурою, яка симетрична даній відносно деякої точки або прямої;

2) задачу переформульовують у допоміжну, переносячи дані в умові вимоги, які стосуються даної фігури, на симетричну;

3) виконують побудову в допоміжній задачі та з'ясовують, в результаті яких побудов можна розв’язати дану задачу.

Метод повороту навколо точки

Метод повороту навколо точки застосовують для побудови трикутників з відомим кутом між рівними сторонами, наприклад рівносторонніх трикутників, рівнобедрених прямокутних трикутників. Цей метод застосовують і для побудови таких фігур, у яких можна виділити трикутник зазначеного типу. За центр повороту найчастіше обирають ту точку, положення якої визначено на площині. Усі задачі на побудову, пов’язані з поворотом навколо точки, належать до позиційних.

Метод подібності

При вивченні тем «Перетворення подібності», «Подібність фігур» розв’язуємо задачі на побудову методом подібності. Якщо дані геометричної задачі на побудову такі, що, опустивши одне з них, можна побудувати безліч фігур, подібних шуканій, а потім, враховуючи опущене дане, будують шукану фігуру. У цьому й полягає метод подібності.

Цей метод можна вводити як продовження методу геометричних місць, оскільки в ньому використовуємо ті самі операції, що й у методі геометричних місць.

Перед розв’язуванням задач на побудову методом подібності слід провести підготовчу роботу. Учні повинні знати, що в подібних трикутниках пропорційними є відповідні висоти, бісектриси й медіани, радіуси вписаних і описаних кіл.

Вказівки до розв’язання задач методом подібності:

1) виділити з умови задачі ті дані, які визначають форму шуканої фігури;

2) за цими даними побудувати допоміжну фігуру, яка подібна шуканій;

3) виконати подібне перетворення допоміжної фігури, використавши те дане з умови задачі, яке визначає розміри шуканої фігури.

Наведені вказівки застосовуємо при аналізі задач на побудову.

Метод паралельного перенесення

Під час розв'язування деяких задач часто виникають труднощі при побудові шуканої фігури тільки через те, що частини цієї фігури дуже віддалені одна від одної, і тому важко ввести в малюнок дані елементи. Такими, наприклад, є задачі на побудову многокутників (які не є трикутниками), де зближення даних і шуканих елементів дає можливість звести задачу до побудови деякого трикутника, в якого відомі три елементи. Зближення елементів фігур зручно здійснювати методом паралельного перенесення.

У 9 класі при вивченні теми «Паралельне перенесення» розв’язуємо задачі на побудову методом паралельного перенесення.

Спочатку повторюємо з курсу 8 класу розв'язування задачі на побудову трапеції за основами і бічними сторонами. На прикладі цієї задачі пояснюємо суть методу паралельного перенесення: при аналізі задачі яку-небудь частину фігури паралельно переносять на деяку відстань у певному напрямі, завдяки чому дістають допоміжну фігуру, яку легко побудувати. Побудувавши допоміжну фігуру, виконують паралельне перенесення в протилежному напрямі на таку саму відстань. Дістають шукану фігуру.

Алгебраїчний метод

Суть методу полягає в тому, що проводячи аналіз задачі на побудову, положення на площині шуканого елемента знаходимо за допомогою алгебри. Припустивши, що задачу розв’язано, виділяємо на малюнку-ескізі шуканий елемент, до визначення якого зводиться розв'язування задачі. На підставі умови задачі і геометричних теорем складаємо рівняння, розв’язуючи яке знаходимо для шуканого елемента алгебраїчний вираз. Побудувавши його за допомогою креслярських інструментів, знаходимо положення шуканого елемента, а отже, і спосіб розв'язування задачі.

Формули для визначення шуканого елемента дають можливість узагальнити і повніше дослідити знайдену відповідь.

Користуючись алгебраїчним методом, легше визначити умову можливості існування розв’язків даної задачі, виявити їх кількість і деякі характерні особливості кожного розв'язку. Крім того, можна зводити різні задачі геометричного характеру до розв'язування і дослідження алгебраїчних рівнянь, а це, в свою чергу, дає змогу з'ясувати властивості креслярських інструментів і можливості виконання ними тих чи інших побудов.

Знайдена після розв’язування рівняння формула часто вказує на спосіб її побудови.

Отже, алгебраїчний метод є найдійовішим у розв'язуванні питання про можливість виконати ту чи іншу побудову за допомогою циркуля й лінійки, і саме в цьому полягає його найважливіше теоретичне значення.

Проте алгебраїчний метод не розкриває геометричної суті розв'язування задачі. До того ж ми за необхідністю вводимо до малюнка допоміжні відрізки, кути, дуги, кола, чим затушовуємо геометричний зміст знайденого розв'язку.

Завершальним етапом розв'язування будь-якої геометричної задачі на побудову алгебраїчним методом є побудова виведеної алгебраїчної формули. Тому приділяємо увагу виробленню в учнів умінь будувати відрізки, задані найпростішими алгебраїчними формулами. Найпростіші формули, до яких зводиться побудова відрізків при розв’язуванні задач на побудову, такі:

Побудови 1) – 7) розглядаємо в 7-8 класах під час вивчення відповідного геометричного матеріалу та розв'язування задач.

Методичні розробки планів-конспектів уроків геометрії в 7-8 класах з ілюстрацією застосування різних методів геометричних побудов

Урок №1 (7 клас)

Тема: Метод геометричних місць

Цілі уроку:

• дидактична - домогтися засвоєння учнями схеми дій, що покладені в основу методу ГМТ при розв’язуванні задач на побудову;

• розвивальна - сприяти розвитку алгоритмічного мислення, просторової уяви, пам'яті, уваги, загальнонавчальних вмінь: аналізувати, синтезувати, узагальнювати;

• виховна - сприяти вихованню взаємодопомоги під час організації роботи в групах, графічної грамотності.

Тип уроку: засвоєння знань, умінь та навичок.

Способи організації навчально-пізнавальної діяльності учнів: групова, індивідуальна, фронтальна бесіда.

Основні методи навчання: конкретно-індуктивний, наочні методи, самостійна робота, розв'язування усних та письмових вправ.

Наочність та обладнання: набір демонстраційного креслярського приладдя, підручник.

Основна література: 1) Бевз Г.П. Геометрія: Підручник для 7 кл. загальноосвітн. навч. закладів. – К.: Вежа, 2007. – 208 с.: іл.; 2) Бабенко С.П. Уроки геометрії. 7 клас / С.П. Бабенко. – Х.: Вид. група «Основа», 2007. – 208 с.

Очікувані результати навчання: учні повинні

знати визначення поняття геометричного місця точок, суть методу ГМТ, алгоритм його здійснення;

мати уявлення про основні задачі на побудову, які розв’язуються за допомогою методу ГМТ;

вміти використовувати метод ГМТ при розв’язуванні задач на побудову (відтворювати схему, що лежить в основі методу геометричних місць).