Сторінка
8
Функцію, задану формулою , часто називають оберненою пропор-ційністю (на відміну від функції
, яку називають прямою пропорційністю). Раніше оберненою пропорційністю ми називали відповідність, при якій зі збільшенням однієї змінної в кілька разів значення другої зменшувалися в стільки ж разів. Так буває тільки у випадку, коли
і
– додатні числа. Якщо у функції
число
від’ємне, то зі збільшенням значень
у кілька разів значення
також збільшується у стільки ж разів. Це видно з рис. 1.3.4.
Рис. 1.3.4. Обернено пропорційна функція з від’ємним
Використовуючи степінь з від’ємним показником, функцію можна записати так:
. Іноді її записують і у вигляді:
.
Приклад. Чи є оберненою пропорційністю залежність, задана рівністю:
а) б)
? Відповідь: а) Ні, б) ні.
Приведемо практичні приклади.
Завдання 2.1.
Функцію задано формулою . Знайдіть значення
, якщо графік функції проходить через точку
Розв’язання. Підставимо значення і
у формулу, якою задано функцію. Одержимо
Отже,
.
Завдання 2.2.
Розв'яжіть графічно рівняння
Розв’язання. Побудуємо в одній системі координат графіки функцій і
(рис. 1.3.5).
Рис. 1.3.5. Графічне розв’язання рівняння
Ці графіки перетинаються в точках P і Q, абсциси яких дорівнюють приблизно 1 і -3. Перевіряємо, чи це точне значення, чи наближене: 1+2=3,
-3+2=-1.
Відповідь: .
Функції в програмі курсу алгебри у 10–11 класах
Степенева функція
Функцію , де
– стале дійсне число, а
– (основа) змінний аргумент у вигляді дійсного числа, називають степеневою функцією.
Область визначення і зміни степеневої функції , а також її властивості залежать від того, яким числом є показник
.
1. Нехай - натуральне число.
Функція визначена на всій числовій прямій; якщо ,
і якщо
,
; при
непарному (
=1,3,5,…) для всіх значень
і
знак функції збігається із знаком аргументу; функція непарна і зростає на всій області визначення. Графіком є пряма, якщо
і криві, якщо
=3,5,7,…, симетричні відносно початку координат, розміщені в І і ІІІ координатних чвертях (рис. 2.1.1).
Рис. 2.1.1. Графіки степеневої функції при значенні показника p – натуральне непарне число (1,3,5,….)
Якщо парне (2, 4, 6,…),
для всіх значень
і
, функція парна. Якщо
, функція спадає, якщо
– зростає. Графіки
(
=2,4,6) – криві, симетричні відносно осі
, розміщені в І і ІІ чвертях (рис. 2.1.2).
Рис. 2.1.2. Графіки степеневої функції при значенні показника p – натуральне парне число (2,4,6,….)
2. Нехай - ціле від’ємне число: -1, – 2, – 3,….Тоді функція визначена на всій числовій прямій, крім точки
(немає числа, оберненого до нуля). Графік складається з двох віток. Якщо
то
Якщо - непарне (-1, -3, -5,…), то для всіх значень
і
знак функції збігається із знаком аргументу. Функція непарна, спадна на всій області визначення. Графіком
(
=-1, -3, -5,…) є криві, симетричні відносно початку координат, розміщені в І і ІІІ чвертях (рис. 2.1.3).