Сторінка
1

озробка учбового матеріалу для викладання вищої математики на тему "Наближені методи обчислення визначених інтегралів"

Актуальність теми контрольної роботи полягає в тому, що при розв’язанні низки математичних, фізичних або технічних задач застосовуються визначені інтеграли від функцій, первісні функції яких не виражаються через елементарні функції. Крім того, в окремих задачах доводиться мати справу з визначеними інтегралами, у яких самі підінтегральні функції не являються елементарними. Це приводить до необхідності розробки наближених методів обчислення визначених інтегралів.

Об’єктом роботи є визначені інтеграли, які не можуть бути представлені у вигляді комплексу елементарних функцій.

Предметом роботи є методи наближеного обчислення визначених інтегралів, первісна яких не може бути представлена у вигляді комплексу елементарних функцій.

Метою роботи є аналіз умов використання та оцінки похибок обчислень при застосуванні найбільш уживаних методів наближеного обчислення визначених інтегралів:

метод прямокутників;

метод трапецій;

метод Симпсона або метод парабол;

методів графічного інтегрування.

Інформаційною базою досліджень контрольної роботи є математичні монографії та учбові посібники з вищої математики по курсу „Методи обчислень" з взяттям за основу курсу учбового посібника Бойко Л.Т. „Основи чисельних методів: навч. посібник." - Дніпропетровськ: Вид-во ДНУ, 2009.

Постановка задачі наближеного інтегрування

Під чисельним інтегруванням розуміють наближене обчислення визначених інтегралів.

Якщо для функції , визначеної на відрізку , можно знайти первісну функцію, то визначений інтеграл розраховується за формулою функціонального інтегрування (1.1):

(1.1)

Якщо підінтегральна функція має складний аналітичний вираз, або задана таблично, то звичайні методи інтегрування, які вивчаються в математичному аналізі, непридатні, оскільки неможливо побудувати первісну. Тому доводиться обчислювати інтеграли наближено. Формули наближеного обчислення інтегралів називаються квадратурними формулами. Ці формули міняють оператор інтегрування на оператор сумування. Виникаюча при такій заміні похибка називається похибкою квадратурної формули.

Задача чисельного інтегрування функцій полягає в обчисленні визначеного інтеграла за значеннями інтегруємої функції в ряді точок відрізка інтегрування. Функцію заміняємо інтерполюємою функцією , а потім приблизно припускаємо:

(1.2)

Функція повинна бути такою, щоб інтеграл обчислювався безпосередньо. Якщо задана аналітично, то ставимо питання про оцінку похибки формули (1.2).

В загальному вигляді задача чисельного інтегрування може бути викладена наступним чином. Нехай інтеграл, який потрібно визначити, представлено у вигляді

(1.3)

Підінтегральна функція в формулі (1.3) є такою, що не дозволяє в функціональному вигляді отримати первісну функцію.

Цей інтеграл обчислюємо за наближеною квадратурною формулою:

(1.4)

де: функція - визначена і неперервна на інтервалі ;

- вагова функція, яка може мати якісь особливості на відрізку

інтегрування, наприклад, перетворюватись у нескінченість в

деяких точках цього відрізка.

- квадратурні коефіцієнти;

- квадратурні вузли ();

n - довільне число інтервалів всередині відрізку [a,b].

Сума, що стоїть у правій частині наближеної рівності (1.4), називається квадратурною сумою.

Параметри ,вибирають так, щоб або похибка квадратурної формули була по можливості мінімальною, або обчислення за формулою (1.4) були достатньо простими. Різні квадратурні формули відрізняються одна від одної способами вибору параметрів ,.

Більшість квадратурних формул базується на заміні підінтегральної функції алгебраїчними багаточленами різного степеня.

Означення: Кажуть, що квадратурна формула (1.4) має алгебраїчний степінь точності , якщо ця наближена формула стає точною на множині всіх алгебраїчних багаточленів не вище -ого степеня.

Це означає, що якщо до наближеної формули (1.4) замість функції підставити будь-який алгебраїчний багаточлен -ого степеня, то наближена рівність (1.4) стає точною, тобто

(1.5)

Але при цьому наближена рівність (1.4) не для всіх багаточленів степеня буде точною.

Алгебраїчний степінь точності квадратурної формули є мірою точності цієї формули. Оскільки будь-яку неперервну функцію можна як завгодно точно наблизити алгебраїчними багаточленами (за рахунок збільшення степеня багаточлена), то слід очікувати, що квадратурні формули, які мають високий алгебраїчний ступінь точності, будуть мати високу точність для будь-яких неперервних функцій .

Параметри ,можна вибрати так. щоб зробити алгебраїчний ступінь точності квадратурної формули якомога вищим. Такі формули називаються квадратурними формулами найвищого степеня точності. Вперше вони були розглянуті Гауссом і тому їх часто називають формулами гауссового типу.