Сторінка
6

озробка учбового матеріалу для викладання вищої математики на тему "Наближені методи обчислення визначених інтегралів"

Квадратурні формули прямокутників (лівих, правих, центральних) дать такі результати:

,

У цьому прикладі інтеграл такий, що його точне значення можна обчислити, воно дорівнює (з точністю до сьомого розряду після коми)

Зауважимо, що хоча формула центральних прямокутників у цьому прикладі використана з вдвічі більшим кроком, ніж формули лівих та правих прямокутників, але результат вийшов ближчим до точного, ніж у двох інших методів.

За квадратурними формулами трапецій та Симпсона маємо такі результати:

Отже після обчислень за різними квадратурними формулами маємо такі наближені значення інтеграла:

; ;

З використаних формул більш точною є формула Симпсона, оскільки її алгебраїчний степінь точності на дві одиниці більший ніж у формули трапеції. Тому, користуючись апостеріорним методом оцінки похибки, в результаті, добутому за формулою Симпсона можна вважати три розряди після коми правильними, а четвертий розряд округленим тобто

Але, якщо порівняти з точним значенням інтеграла, то видно, що насправді результат, добутий за формулою Симпсона, має п’ять правильних розрядів після коми, шостий розряд округлений.

Графічне інтегрування

Задача графічного інтегрування полягає в наступному: за графіком неперервної функції потрібно побудувати графік її первісної функції.

(3.1)

Іншими словами, потрібно побудувати таку криву , ордината в кожній точці якої чисельно дорівнює площі криволінійної трапеції з основою , обмеженою даною кривою .

Для наближеної побудови графіка первісної функції розбиваємо площу відповідної криволінійної трапеції, обмеженої кривій , на вузькі вертикальні смужки за допомогою ординат, проведених у точках (рис.3.1).

Рис.3.1 Графічне інтегрування функції f (x) з отриманням первісної функції F (x) [2]

Кожну з таких смужок заміняємо, використовуючи теорему про середнє, рівновеликим (по можливості) прямокутником з тією ж основою і висотою, рівною , ,де деяка проміжна точка -го по порядку відрізка , тобто думаємо:

(3.2)

Де

(3.3)

Значення первісної функції

(3.4)

у точках можна підрахувати методом нагромадження:

(3.5)

Нехай - відповідні точки кривої . Проектуючи їх на вісь одержимо точки(рис.3.1).

Виберемо тепер полюс із відстанню й проведемо промені . Розраховуєму первісну функцію - лініюприблизно можна замінити ламаною з вершинами . Послідовні ланки цієї ламаної будуть паралельні відповідним променям, а саме: . Справді, кутовий коефіцієнт ланки на підставі формули (1) дорівнює

(3.6)

У силу ж побудови кутовий коефіцієнт променів якщо

(3.7)

Отже

(3.8)

Таким чином, технічно побудова графіка функції може бути здійснена так:

ізточки проводимо прямупаралельну променю , до перетину в точці з вертикаллю;

із точки проводимо прямупаралельну променю , до перетину в точціз вертикаллю й так далі.

Слід зазначити, що при застосуванні даного методу графічного інтегрування точки не обов'язково брати рівновіддаленими. Для збільшення точності побудови рекомендуються характерні точки графіка інтегрувальної функції (нулі, точки екстремуму, точки перегину) обов'язково включати до складу точок .

Висновок: Графічне інтегрування володіє, взагалі говорячи, малою точністю. Тому цей прийом корисно використовувати тоді, коли потрібно мати загальне подання про інтеграл функції або коли підінтегральна функція задана графічно і її аналітичне вираження нам невідомо.