Сторінка
5

озробка учбового матеріалу для викладання вищої математики на тему "Наближені методи обчислення визначених інтегралів"

За формулою (2.11) знаходимо . Врахувавши властивості коефіцієнтів Котеса, знаходимо .

Після підстановок знайдених коефіцієнтів Котеса в формулу (2.3.1), отримуємо квадратурну формулу, яка називається „формулою Симпсона” або „формулою парабол”:

(2.3.2)

Рис.2.7 Геометричне тлумачення „формули парабол"

Назва квадратурної формули (2.3.2) як „формула парабол" випливає з геометричного тлумачення інтеграла, якщо криву замінити параболою, що проходить через три точки (на рис.2.7 парабола показана пунктиром) і наближене значення інтеграла обчислювати як площу криволінійної трапеції, яка зверху обмежена графіком цієї параболи.

Знайдемо залишковий член квадратурної формули Симпсона. Для цього з наближеної рівності (2.3.2) запишемо формулу для похибки

(2.3.3)

Розкладемо функцію у ряд Тейлора в околі точки , припускаючи функцію такою, що розкладання можливе:

Знайдемо точне значення інтеграла:

(2.3.4)

Тепер знаходимо

(2.3.5)

Підставимо (2.3.3) і (2.3.5) у праву частину рівності (2.3.4):

Отже похибка квадратурної формули Симпсона може бути записана у вигляді

(2.3.6)

З формули (2.3.6) видно, що алгебраїчний степінь точності квадратурної формули Симпсона дорівнює трьом, тобто ця формула має підвищений степінь точності.

Формулу Симпсона також можна застосовувати не до всього відрізка інтегрування, а до окремих його частин. Для цього поділимо відрізок на частин рівної довжини кожний, як показано на рисунку (2.8)

Рис.2.8 Геометричне тлумачення формули Симпсона

Візьмемо -й подвоєний відрізок, функцію проінтегруємо на цьому відрізку, використовуючи квадратурну формулу (2.3.1) з похибкою (2.3.5)

.

Просумувавши інтеграли за всіма подвоєними відрізками, добудемо узагальнену формулу Сімпсона

Якщо прийняти умову, що відстань між будь-якими двома сусідніми вузлами однакові і дорівнює , то останню формулу можна переписати в більш простому вигляді

Тепер запишемо окремо узагальнену формулу Сімпсона та її похибку

(2.3.7)

(2.3.8)

Геометричне зображення формули (2.3.7) показане на рисунку (2.8).

Наближене значення інтеграла (права частина наближеної рівності (2.3.7) - це площа криволінійної трапеції, яка зверху обмежена кусками парабол (крива показана пунктиром).

На кожному подвоєному відрізку графік функції наближається своєю параболою.

З формули (2.3.7) видно, що з ростом похибка дуже швидко зменшується.

Практичне порівняння точності методів наближеного обчислення інтегралів 3-ма методами

Застосовуючи ці три метода наведемо приклад:

Обчислимо наближене значення інтеграла

,

використовуючи квадратурні формули прямокутників, трапеції та Сімпсона. Для цього підготуємо таблицю значень підінтегральної функції у точках відрізка