Сторінка
2

Системи диференціальних рівнянь

2. Механічна інтерпретація розв’язків

В евклідовому просторі змінних розв’язок визначає закон руху по деякій траєкторії в залежності від часу . При такій інтерпретації функції є складовими швидкості руху, простір зміни перемінних називається фазовим простором, система динамічної, а крива, по якій відбувається рух - фазовою траєкторією. Фазова траєкторія є проекцією інтегральної кривої на фазовий простір.

3. Зведення одного диференціального рівняння вищого порядку до системи рівнянь першого порядку

Нехай маємо диференціальне рівняння

Розглянемо заміну змінних

.

Тоді одержимо систему рівнянь

4. Зведення системи диференціальних рівнянь до одного рівняння вищого порядку

Нехай маємо систему диференціальних рівнянь

і заданий її розв’язок . Якщо цей розв’язок підставити в перше рівняння, то вийде тотожність і її можна диференціювати

Підставивши замість їх значення, одержимо

Знову диференціюємо це рівняння й одержимо

Продовжуючи процес далі, одержимо

Таким чином, маємо систему

Припустимо, що Тоді систему перших - рівнянь

можна розв’язати відносно останніх змінних і одержати

Підставивши одержані вирази в останнє рівняння, запишемо

Або, після перетворень

,

одержимо одне диференціальне рівняння -го порядку.

У загальному випадку, одержимо, що система диференціальних рівнянь першого порядку

зводиться до одного рівняння -го порядку

і системи рівнянь зв'язку

Зауваження. Було зроблене припущення, що . Якщо ця умова не виконана, то можна зводити до рівняння щодо інших змінних, наприклад відносно.

5. Комбінації, що інтегруються

Визначення. Комбінацією, що інтегрується, називається диференціальне рівняння, отримане шляхом перетворень із системи, диференціальних рівнянь, але яке вже можна легко інтегрувати.

.

Одна комбінація, що інтегрується, дає можливість одержати одне кінцеве рівняння

,

яке є першим інтегралом системи.

Геометрично перший інтеграл являє собою -вимірну поверхню в -вимірному просторі, що цілком складається з інтегральних кривих

Якщо знайдено -комбінацій, що інтегруються, то одержуємо перших інтегралів

І, якщо інтеграли незалежні, то хоча б один з визначників . Звідси з системи можна виразити - невідомих функцій через інші і підставивши їх у вихідну систему, понизити порядок до - рівнянь. Якщо і всі інтеграли незалежні, то одержимо загальний інтеграл системи.