Сторінка
1
План
- Похідна за напрямком
- Градієнт функції
- Основні властивості
1. Похідна функції за напрямком і градієнт
Нехай - функція, означена в області . Розглянемо деяку точку і деякий напрямок , визначений напрямними косинусами і (тобто і - косинуси кутів, утворених вектором з додатними напрямками осей координат і ). При переміщенні в заданому напрямку (рис.7.10) точки в точку функція одержує приріст
, (7.46)
який називається приростом функції в заданому напрямку .
Якщо є величина переміщення точки , то із прямокутного трикутника одержуємо , , отже,
. (7.47)
Означення. Похідною функції в заданому напряму називається границя відношення приросту функції в цьому напрямку до величини переміщення при умові, що останнє прямує до нуля, тобто
. (7.48)
З цієї точки зору похідні і можна розглядати як похідні функції в додатних напрямках осей координат і . Похідна визначає швидкість зміни функції в напрямку .
Виведемо формулу для похідної , вважаючи, що функція диференційована. Із означення диференціала функції випливає, що приріст функції відрізняється від диференціала функції на вищий порядок малості відносно приросту незалежних змінних. Тому
,
де і при і . Звідси в силу співвідношень (7.47) одержуємо
.
Отже,
.
Переходячи до границі в останній формулі при ,тобто при і , одержимо формулу для похідної функції в заданому напрямку:
. (7.49)
Приклад. Обчислити в точці похідну функції в напрямку, що складає кут з віссю .
Р о з в ’ я з о к.
.
Зауваження. Для функції її похідна в напрямку дорівнює
(7.50)
Рис.7.10 Рис.7.11
При вивчені поведінки функції в даній точці площини аргументів найбільшу зацікавленість являє питання про напрямок найвищого зростання в цій точці. Задача розв’язується за допомогою вектора, який називається градієнтом функції .
1 2
Інші реферати на тему «Математика»:
Визначення та обчислення об’єму тіла за площами паралельних перерізів; об’єм тіла обертання
Похідна за напрямком і градієнт функції, основні властивості
Частинні похідні і диференціали вищих порядків
Задачі геометричного і фізичного характеру, що приводять до диференціальних рівнянь
Основні властивості означеного інтеграла. Формула Ньютона- Лейбніца