Сторінка
4

Визначені та невласні інтеграли

Якщо f(х) на відрізку [а,b] декілька разів змінює свій знак, то інтеграл по відрізку [а,b] треба розбити на суму інтегралів по част­кових відрізках. Інтеграл буде додат­ним на тих відрізках, де f(х) 0 та від'ємним там, де f(х)<0. Інтеграл по відрізку [а,b] дає різницю площ, що лежать вище та нижче осі 0х (дивись Малюнок 2).

Щоб одержати суму площ (без врахування розташування відносно осі 0х) треба знайти суму абсолют­них величин інтегралів по часткових

Мал. 2

відрізках або обчислити інтеграл від абсолютного значення функції, тобто

Приклад 1. Обчислити площу фігури, обмеженої еліпсом

Розв'язування. Із аналітичної гео­метрії відомо, що цей еліпс має вигляд такий, як на Малюнку 3.

Шукана площа S дорівнює 4S1, де S1 — площа заштрихованої частини еліпса, що розташована у першому квадранті. Отже,

Із рівняння еліпса знаходимо у:

Мал. 3.

Для заштрихованої частини еліпса у0, тому і ми одержуємо

(1)

Заміна x = sin t дає: dx = cost · dt; t = arcsin x,

tB = arcsin1 = .

Отже,

За формулою (13) одержимо S = 8 ·(квадратних одиниць).

Якщо треба обчислити площу фігури, обмеженої кривими y = f1(х), y=f2(х) та прямими х = а, х = b (дивись, наприклад, Малюнок 4), то при f1(х)f2(х) її можна знайти за формулою

(14)

Мал. 4

Приклад 2. Обчислити площу фігури, обмеженої лініями

та

Розв'язування. Спочатку зобразимо фігуру, площу якої треба знайти (Мал. 5). Знайдемо точку перетину цих парабол. Ко­ординати точок перетину задовольняють обом рівнянням, тому

Мал. 5

Отже, площа заштрихованої фігури буде

(квадратних одиниць).

4.2. Обчислення довжини дуги кривої.

Нехай крива на площині має рівняння у = f(х). Треба знайти довжину дуги AB цієї кривої, обмежену прямими х=ата х = b (дивись малюнок 6).

Візьмемо на AB точки А, М1, М2, ., Мn-1, В з абсцисами a, х1, х2, ., хn-1, b, відповідно, та проведемо хорди

AM1,M1M2,…,Mk-1,Mk,…,Mn-1B,

довжини яких позначимо

Одержимо ламану лінію, вписану в дугу AB. Довжиною ламаної буде

Мал. 6

Означення 1. Довжиною l дуги АВ називають границю, до якої прямує довжина вписаної ламаної, коли довжина її найбіль­шої частини прямує до нуля, тобто

Теорема 1. Якщо на відрізку [а,b] функція f(х) та її похідна f'(x) неперервні, то довжина дуги кривої у = f(х), обмеже­ної прямими х = а та х = b, обчислюється за формулою

Доведення. Із Малюнка 6 бачимо, що за теоремою Піфагора