Сторінка
2

Застосування циклічних мережних моделей у проектному менеджменті

Воропаєв, Лєбєдєва та інші у свої роботі [3] описують широкі можливості для встановлення технологічних зв’язків між роботами за допомогою детермінованих параметрів , тут ми маємо узагальнення цих зв’язків з урахуванням їх імовірнісного характеру.

Розглянемо додаткові можливості для опису процесу створення складного проекту, що дає ввід стохастичної матриці суміжності M в поєднанні з узагальненими зв’язками.

Нехай – деякий шлях, що з’єднує події m та n.

(4)

Назвемо шлях детермінованим, якщо для всіх справедливо , і стохастичним, у протилежному випадку. Таким чином, стохастичний шлях містить хоча б одну дугу, ймовірність “виконання” якої менша від 1. Тут під “виконанням” дуги розуміється виконання роботи чи виконання вимоги про часовій пов’язаності подій.

Аналогічно визначимо детермінований і стохастичний контур:

.

Нехай події m та n з’єднані шляхом , тоді ймовірність здійснення події n за умови, що подія m відбулася є добутком коефіцієнтів матриці суміжності M, що відповідають дугам сполучного шляху:

(5)

Якщо події m та n з’єднані декількома шляхами, то можна виконати еквівалентне GERT-перетворення даного фрагмента мережі відповідно до формул, наведених у роботі Філіпс Д. Та Гарсіа-Діас А., обчислити похідну функцію і ймовірність здійснення події n за умови, що подія m відбулася: .

Перша похідна функції /по z у точці z = 0 (перший момент ) визначає математичне сподівання часу здійснення події n щодо часу здійснення події m. Друга похідна функції /по z у точці z = 0 (другий момент дозволяє обчислити дисперсію часу здійснення події n щодо часу здійснення події m за формулою:

. (6)

Але GERT-перетворення фрагменту мережі стосовно обчислення ймовірності здійснення події n, з’єднаної стохастичними шляхами з однією альтернативною вершиною m, до якої веде детермінований повний шлях. Якщо ж до події n ведуть стохастичні шляхи з різних альтернативних вершин m, GERT-перетворення не застосовується, а пропонуються наступні рекурентні співвідношення:

, (7)

де – ймовірність здійснення m-ої події, і уже відомі для всіх m, строго попередніх n . З (7) випливає, що коли події n передує хоча б один повний детермінований шлях, то . Таку подію слід називати детермінованою, а в протилежному випадку – стохастичною.

Довжина шляху є випадковою величиною, математичне сподівання якої є сумою математичних сподівань довжин усіх дуг, що складають даний шлях, а дисперсія дорівнює сумі дисперсій. При цих умовах довжина шляху може приймати від’ємні значення.

Задачі часового аналізу ЦММ, також як і часовий аналіз класичних, узагальнених чи стохастичних сіткових моделей, лежать в основі рішення всіх календарних задач проектного менеджменту. Час є визначальним показником. Там де серйозно затягуються терміни виконання робіт – знижується якість виконання робіт, ростуть перевитрати ресурсів та бюджетних засобів. Задачі часового аналізу ЦММ мають важливе значення при рішенні задач керування проектом без обліку обмежень на ресурси, що використовується при створенні унікальних або важливих проектів.

Задачі часового аналізу ЦММ полягають у знаходженні випадкового вектора , де є часом здійснення m-ї події, координати якої задовольняють нерівностям (1), (2) і перетворюють у екстремум цільову функцію .

Можна виділити три класи задач часового аналізу:

· класичні, у яких для обчислення використовуються математичні сподівання довжин усіх дуг;

· ймовірнісні, у яких на основі граничної теореми Ляпунова або іншими аналітичними засобами [5] обчислюються математичні сподівання термінів здійснення подій – , що є аргументами функції ;