Сторінка
6
Задача зображення фігури вважається розв’язаною, якщо одержано будь-яке зображення фігури, яке вдало, правильно і наочно відображає форму геометричної фігури і співвідношення між її елементами. Для цього у процесі виконання малюнків мають бути реалізовані такі вимоги:
- правильність, яка означає, що існує такий спосіб проектування, при якому зображення фігури подібне до його проекції;
- наочність, яка передбачає, що образ фігури створює саме те враження, що і прообраз;
- простота зображення, яка полягає в тому, що для виконання додаткових побудов не треба користуватися складними допоміжними побудовами;
- повнота, суть якої в тому, що за розміщенням усіх елементів геометричної фігури або її частин на малюнку можна говорити про розміщення цих елементів у просторі.
Способи побудови зображення фігур ґрунтуються на властивостях паралельного проектування (мається на увазі загальний випадок, коли проектування здійснюється паралельно прямій, яка не паралельна тим прямим чи відрізкам, що проектуються):
- проекція точки є точка;
- проекцією прямої є пряма;
- зберігається паралельність прямих (відрізків);
- відношення довжин відрізків прямої (яка проектується) дорівнює відношенню довжин їх проекцій;
- відношення довжин проекцій двох паралельних відрізків дорівнює відношенню довжин відрізків, які проектуються.
Зображення просторових геометричних фігур досить детально розглянуто як в математичній, так і методичній літературі.
До основних задач на побудову відносяться: побудова точки зустрічі прямої з площиною; побудова лінії перетину двох даних площин; побудова перерізу многогранника площиною, яка визначена відповідним способом.
Розглянемо побудову перерізів в многогранниках. Уміння розв’язувати задачі на побудову перерізів є основою вивчення майже усіх тем курсу стереометрії. Основними діями, які складають метод побудови перерізів, є:
- знаходження точки перетину прямої з площиною;
- побудова лінії перетину двох площин;
- побудова прямої, паралельної до площини;
- побудова прямої перпендикулярної до площини;
- метод внутрішнього проектування;
- комбінований метод.
Для формування вмінь володіти вказаними діями, потрібно мати на увазі, що в сукупності вправ повинні бути передбачені всі ситуації застосування перерахованих дій.
Задача на побудову точок перетину двох фігур чи взаємне розміщення їх, називається позиційною. Для розв’язання позиційної задачі потрібне повне зображення. Позиційні задачі зводяться до таких найпростіших: побудови лінії перетину двох площин, точки перетину прямої з площиною.
У процесі вивчення шкільного курсу стереометрії просторові об'єкти доводиться зображати на площині, тобто рисунки просторових фігур. Проте досі в шкільні її практиці немає єдиного, загальноприйнятого підходу и трактуванні цього питання. Більш того, багато вчителів приділяють цьому питанню мало уваги, вважаючи його другорядним. Немає єдиної думки і в питанні про те, що слід розуміти під рисунком просторової фігури, придатним з методичного погляду. Немає загальноприйнятих способів побудови цих рисунків. Внаслідок цього створився такий стан, коли вживані шкільні рисунки многогранників лише в деякій мірі прийнятні, а такі рисунки, як-от круглих тіл і особливо комбінацій круглих тіл з многогранниками, взагалі не можна вважати задовільними.
Питання про зображення просторових тіл на площинні не нове, з ним доводиться мати справу в багатьох дисциплінах як теоретичного, так і практичного характеру.
У кресленні також застосовується метод аксонометрії. Аксонометрією називається певна паралельна проекція оригіналу на одну площину проекцій. Аксонометричні проекції, як правило, дають наочні метрично визначені зображення просторових об'єктів.
В архітектурі і почасти в живопису застосовується метод центрального проектування (перспективи). Перспективні зображення цілком відповідають нашим зоровим уявленням.
Те, що було сказано про метод ортогонального проектування па дві (три) площини проекцій та метод перспективи, є досить переконливим, і думається, що ніхто з учителів не буде відстоювати придатність цих методів при вивченні курсу стереометрії. Щодо методу аксонометрії, то серед учителів він має багато прихильників. Останнім часом у зв'язку з завданням політехнізації шкільного , викладання деякі вчителі висловлюють думки про доцільність застосування методу аксонометрії при вивченні стереометрії. Ці вчителі на захист своїх поглядів наводять такі доводи:
Аксонометричні зображення досить наочні.
Аксонометричні зображення метрично визначені. На таких зображеннях можна безпосередньо лінійкою визначити будь-які розміри зображуваних фігур.
Учнів легко навчити методу аксонометрії. Навчання йтиме паралельно — і на уроках креслення, і на уроках геометрії.
Знання аксонометрії — корисна навичка в системі політехнічної освіти.
Ці доводи досить переконливі, і ніхто не буде їх спростовувати. Проте не менш переконливі й заперечення проти застосування методу аксонометрії при вивченні стереометрії в школі.
А саме побудова аксонометричних зображень потребує значної витрати часу на уроці. Досвід показує, що навіть тоді, коли учні більш- менш добре володіють методом аксонометрії, на рисунки середньої складності доводиться витрачати 20—25 хвилин, а то й більше. А це вже зовсім неприпустимо, оскільки рисунки геометричних фігур при викладанні геометрії не можна розглядати як самоціль. Основним все-таки лишається доведення теорем, аналіз, розв'язування і дослідження задач.
З іншого боку, характерна для аксонометричних зображень метрична визначеність при вивченні стереометрії здебільшого не потрібна. Як правило, немає потреби рисувати в учнівських зошитах або на класній дошці фігури, які метрично точно відповідають своїм оригіналам. Навіть у планіметрії ми здебільшого не користуємося метрично точними зображеннями. Ніхто з учителів при розв'язуванні планіметричних задач не вимагає від учнів, щоб вони виконували рисунки, які були б метричними копіями оригіналів. Звичайно такі рисунки лише з певною точністю відповідають своїм оригіналам.
Нарешті, ніхто не відкидає великого значення знань аксонометрії з погляду політехнічного навчання. Але цих знань учні можуть набути на уроках креслення при належній постановці їх.
Оскільки в шкільному курсі стереометрії найважливіше значення мають позиційні задачі на побудову, то ми обмежуємося розглядом лише цих задач; задачі на побудову метричного характеру зовсім не розглядаються.
Розглядаючи спочатку питання по суті, ми методичні вказівки та зауваження свідомо відносимо на кінець, де викладено точку зору з приводу застосування проекційних рисунків в шкільній практиці.
Автор далекий від думки, що його досвід найдосконаліший. Очевидно, є більш вдалі методичні схеми трактування порушених питань.