Сторінка
3
- ілюстрація прикладами із оточуючого життя за допомогою спеціальної моделі;
- формулювання аксіоми;
- ілюстрація аксіоми на малюнку;
- короткий запис аксіом.
Велика обережність вимагається при навчанні учнів першим доведенням.
В числі перших учням дається метод від супротивного, який викликає найбільші труднощі. Учні із двовимірного простору «переходять» в реальний тривимірний простір, тобто приступають до вивчення властивостей стереометричних фігур, які існують в просторі трьох вимірів.
Всі знання і уявлення учнів про властивості фігур, які вивчались раніше, спирались на площину, а в тривимірному просторі площина стає самостійною фігурою і одночасно носієм всіх плоских фігур з їх багаточисельними властивостями. Нелегко учню уявити образ площини в тривимірному просторі, ще складніше уявити можливе розміщення в ньому трьох і більше площин і зовсім важко побачити розміщення на цих площинах вже відомих плоских фігур з їх властивостями. Навчити кожного учня бачити, малювати, уявляти про яку фігуру йде мова в теоремі, задачі, означені і доведенні – головні навчально-виховні цілі уроку.
Учням необхідно роз'яснити, що доведення проводиться не тільки з метою переконання істинності якого-небудь твердження, але і для того, щоб звести дане твердження до раніше відомих, показати, яким чином із аксіом, означень і вже доведених теорем виникає дане твердження.
З перших уроків вивчення курсу стереометрії необхідно вчити учнів робити малюнок до умови задачі, намічати хід розв’язання, тобто проводити аналіз розв'язання задачі, опускаючи обґрунтування, а після цього переходити до строгого обґрунтування розв’язання.
Побудова системи аксіом стереометрії здійснюється за допомогою таких дій:
1) переформулюються аксіоми планіметрії для простору (дія виконується за допомогою прийняття аксіоми: «В кожній площині простору виконуються всі аксіоми планіметрії»).
2) доповнюються нові «специфічні» аксіоми стереометрії (дія полягає в формулюванні декількох аксіом належності для простору).
Методична схема вивчення аксіом планіметрії:
- ввести аксіому на наочній основі;
- сформулювати аксіому;
- виконати логічний аналіз формулювання аксіоми;
- провести математичний диктант.
Методична схема вивчення аксіом стереометрії:
- роз'яснити абстрактний характер геометричних понять;
- роз'яснити сутність аксіом і їх роль в побудові геометрії, сформулювати аксіоми;
- проілюструвати аксіоми на моделях;
- закріпити аксіоми шляхом логічного аналізу їх формулювань;
- закріпити аксіоми в процесі їх застосування до доведення перших наслідків геометрії належності в просторі, до розв'язання задач.
Наслідки являють собою нове завдання площини. В заключеннях теорем – наслідків необхідно виділити дві частини:
1) існування площин;
2) єдності.
4. Геометричні побудови (на площині і в просторі)
А) Геометричні побудови в курсі планіметрії
Що таке задача на побудову?
В задачах на побудову мова йде про побудову геометричної фігури за допомогою даних інструментів креслення. Такими інструментами частіше всього є лінійка і циркуль. Розв’язання задач полягає не стільки в побудові фігури, скільки у вирішенні питання, як це зробити, і відповідним доведенням. Задача вважається розв’язаною, якщо вказано спосіб побудови фігури і доведено, що в результаті вказаних побудов дійсно здобувається фігура з потрібними властивостями.
Розділ геометрії, в якому вивчаються задачі на побудову, називається конструктивною геометрією. Основним поняттям конструктивної геометрії, крім основних понять геометрії, є поняття «побудована геометрична фігура». Це поняття не має логічного означення.
При розв’язуванні задач на побудову використовуються: загальні аксіоми геометрії, загальні аксіоми конструктивної геометрії і аксіоми інструментів геометричних побудов. Всі задачі на побудову з допомогою циркуля і лінійки зводяться до побудови – точки, відрізку, кола. Для побудови відрізку і кола досить виділити їх визначальні точки. З іншої сторони, побудова фігури, в якій є всі задані властивості (це являється вимогою будь-якої задачі на побудову), також зводиться до побудови визначальних її точок (характеристичних точок цієї фігури). Побудова точки як геометричної фігури, ідентична перетину двох ліній – прямої і прямої, прямої і кола, двох кіл.
Структура задачі на побудову – в ній дані геометричні фігури і умови, пов’язані між собою, вимоги такої задачі можна розподілити на дві часини: а) побудувати нову фігуру, пов’язану з даними фігурами деякими умовами; б) побудувати певним набором інструментів. При цьому в деяких задачах інструменти зазначаються (наприклад, побудова паралельних прямих за допомогою косинця і лінійки), а в задачах, де інструменти не зазначені, припускаються циркуль і лінійка.
Основні задачі на побудову
До основних задач на побудову в дев’ятирічній школі відносять:
- на даній прямій від даної точки відкласти відрізок даної довжини;
- побудову трикутника за даними сторонами;
- побудову кута, рівного даному;
- побудову бісектриси даного кута;
- поділ відрізка пополам;
- побудову перпендикулярної прямої;
- побудову трикутника за двома сторонами і куту між ними;
- побудову трикутника за стороною і прилеглими кутами;
- побудову прямокутного трикутника за гіпотенузою і катетом;
- побудову прямокутного трикутника за гіпотенузою і прилеглим до неї гострим кутом;
- через дану точку провести пряму паралельну даній прямій;
- поділ відрізку на n- рівних частин;
- побудову відрізка х, пов’язаного з даними відрізками а і b рівністю х2 = а2 + b2;
- побудову відрізка х, пов’язаного з даними відрізками а і b рівністю х2 = а2 – b2;
- поділ дуги кола пополам;
- побудову дотичної до кола в даній точці;
- побудову дотичної до кола з даної точки поза колом;
- поділ відрізка в даному відношенні;
- побудову відрізка, четвертого пропорціонального до трьох даних;
- побудову відрізка х, пов’язаного з даними відрізками а і b рівністю x2 = √ab.
Питання методики розв’язування задач на побудову
Розглядаються задачі на побудову в курсі геометрії 7 класу, потім, починаючи з 8 класу, задачі на побудову входять в склад тем, які вивчаються. В діючих підручниках кожна задача на побудову дається відокремлено, не дивлячись на те, що авторами задається продумана послідовність цих задач.
Розв’язуючи задачі на побудову, з перших уроків учням потрібно пояснювати сутність термінів «побудувати точку», «побудувати пряму», «дано точку», «дано пряму». Точка (пряма) вважається побудованою, якщо накреслено її умовне зображення. Вираз «дано точку» – означає, що точка побудована. «Дано фігуру» – означає, що фігура побудована; фігура, яку треба побудувати, називають шуканою. Побудувати фігуру – це значить накреслити її, застосовуючи певні інструменти. Суть цих термінів треба пояснювати послідовно при розв’язуванні задач, але не завчати. Перші задачі на побудову прості і вчителя не надають їм значення, а це приводить до «застою» геометричного мислення, який дуже важко потім ліквідувати. Умови перших задач по геометрії не треба записувати в зошити, треба, щоб учні відразу ж виконували побудови.