Сторінка
2

Оптимізація структури інвестиційного портфеля з урахуванням величини транзакційних видатків

Оскільки змінні ТВ характеризують видатки господарської діяльності, її масштаб, то для такого специфічного виду ді­яль­но­с­ті як портфельні інвестиції, видатки інвестора на придбання, на­приклад, фондових цінностей можна віднести до змінних ТВ. Хоча ціна покупки фінансового активу не може бути віднесена до ТВ, однак лише урахування ціни придбання дозволяє визначити місцезнаходження реальної точки беззбитковості інвес­тора. На рисунку 1 випадок урахування усіх видатків інвестора зображено штрих пунк­тирною лінією. Як бачимо, з урахуванням ціни при­д­бання фінансового активу змінюється лише геометричне мі­с­це точки беззбитковості, яка у даному випадку буде зміщена ви­ще і праворуч на відстань, що пропорційна величині ціни прид­ба­н­ня.

Рис. 1. Точка беззбитковості інвестора з урахуванням ТВ та ціни придбання фінансового активу

У будь-якому випадку, врахування в загальних ТВ ціни при­д­бання або нехтування нею, сутність алгоритму пошуку точки без­збитковості не змінюється. Тому для спрощення подачі ма­теріалу та його більшої наочності будемо вважати, що точкою без­збитковості є перетин ліній загальних ТВ та виручки від ре­а­лі­за­ці­ї.

Для цілей даного дослідження принципово важливим є лише те, що ТВ – позитивна величина, а це, за висловленням все то­го ж Д. Норта, вимагає створення нових аналі­тичних основ мі­кро­­економічної теорії [3, 46]. Таким чином, урахування ТВ при­з­во­дить до зміни оптимального плану розміщення інвестиційних ре­сурсів.

Задача оптимізації з урахуванням обмежень щодо без­зби­т­­ковості. Припустимо, що в результаті маркетингового дослідження ринку виявлено, що ТВ становлять певну додатну величину (ТВ > 0). Крім цього, зроблено декомпозицію загальної величини ТВ на по­стійні та змінні видатки. У зв’язку з цим можна визначити то­ч­ку беззбитковості інвестора та, враховуючи цю величину, пере­й­ти до вирішення задачі оптимізації.

Точку беззбитковості можна подати не лише у натуральному вимірі (кількість одиниць фінансового активу), а та­кож і у вартісному. Тому точку беззбитковості можна пред­ста­ви­ти як додаткове обмеження в задачі оптимізації у загальному вигляді: Xj > cj, де Xj - частка капіталу інвестора, яку він повинен вк­ласти в j-й фінансовий актив, cj – мінімальна величина вкладень в j-й фінансовий актив, що виражена як відношення вартісного ек­вівалента[1] точки беззбитковості до величини всього капіталу ін­вестора (cj>0). Цю величину можна умовно назвати відносною ве­личиною ТВ, яка для кожного інвестора буде різною.

Кількість таких обмежень залежить від кількості фінансових ак­тивів, серед яких інвестор розподілятиме свій капітал. Якщо j = 1, .,n, то кількість обмежень у задачі оптимізації n.

Класична задача лінійної оптимізації структури інвестиційного портфеля інвестора, передбачає максимізувати дохід, функція якого є лінійною, за умов (обмежень), що усі фінансові активи по­винні мати невід’ємні ваги (Xj > 0) та усі кошти повинні бути повністю інвестовані ( nj=1Xj = 1). Якщо до такої задачі ввести обмеження щодо врахування точки беззбитковості, то обмеження Xj > 0 треба замінити обмеженням Xj = cj. З цього видно, що введення обмежень щодо порогу рентабельності звужує допустиму множину значень цільової функції, що у загальному випадку означає також зміну оптимуму цільової функції.

Загальний принцип розв’язку оптимізаційних задач полягає у тому, що ”решение общей задачи на оптимум: max (или min) f(x) при х, принадлежит замкнутому допустимому множеству К, если оно существует, является либо критической точкой функции f(x), либо граничной точкой множества К либо и тем и другим одновременно” [7 , 22–23]. Для лінійної функції, яка не має критичних точок, розв’язок задачі оптимізації знаходиться в одній з граничних точок замкнутої допустимої множини К. Цілком очевидно, що звуження цієї множини внаслідок накладання більш жорстких обмежень на ваги фінансових активів (Xj > cj), змінює оптимальну структуру інвестиційного портфеля.

Щодо задачі квадратичної оптимізації (мінімізувати ризик (ди­сперсію) портфеля, яка є квадратичної функцією), то нак­ла­да­н­ня обмежень щодо порогу рентабельності не завжди призводить до змін оптимальної структури портфеля. Все залежить від того, чи є критична точка** квадратичної функції внутрішньою точкою мно­жини К та наскільки звужується ця множина після накладення обмежень щодо беззбитковості. У цьому випадку очевидно, що чим більш жорсткими стають обмеження щодо беззбитковості (іншими сло­вами, чим більшими є ТВ розміру інвестиційного капіталу інвестора), тим більше змінюється оптимальний склад портфеля для випадку, що критична точка квадратичної функції є граничною точкою множини допустимих значень функції К. Якщо критична точка квадратичної функції є внутрішньої точкою множини К, то часто оптимальний склад портфеля може залишатися незмінним. У цьому випадку все залежить від величини відстані внутрішньої критичної точки квадратичної функції від границь множини К. Крім того, у випадку накладення більш жорстких обмежень на квадратичну цільову функ­ції в задачі оптимізації критична точка такої функції може випадати з області К і відповідно з меншої області К’, яка виникає через накладення більш жорстких обмежень (оскільки К Є’ К та К > К’). Випадання критичної точки з множин К та відповідно К’ не означає, що задача квадратичної оптимізації не має розв’язку, оскільки за теоремою Вейер­штрасса неперервна функція, визначена на непустій замкнутій обмеженій множині, досягає максимуму (мінімуму) щонайменше в одній точці цієї множини. Тому навіть при накладенні більш жорстких обмежень щодо порогу рентабельності в задачі квадратичної оптимізації щонайменше одна точка множини К’ є мінімумом квадратичної функції ризику портфеля. І для цього випадку оптимальний склад портфеля знову відрізнятиметься від оптимального складу портфеля, для якого оптимізація здійснювалась без накладення обмежень щодо порогу рентабельності, тобто без урахування відносної величини ТВ. Отже, врахування величини ТВ в задачі оптимізації інвестиційного портфелю призво­дить до зміни алокації ресурсів, тобто оптимального складу портфеля. Накладення більш жорстких обмежень в оптимізаційних задачах призводить до зміни границі ефективних портфелів на площині “ризик–дохід”, як правило, не в кращій бік. Тому нехтувати обме­женнями щодо беззбитковості не можуть, оскільки дуже часто, особливо в умовах роботи на ринках категорії emerging markets, портфельні інвестори стикаються з великими ТВ.