Сторінка
5

Розвиток креативних здібностей через систему креативних вправ

Помічаємо, що рівняння розв’язків не має. Творчий підхід виявився раціональним і ефективним.

Приклад 2. Розв’яжіть рівняння

Розв’язання графічним способом дасть наближені корені. Дослідимо ліву частину рівняння. Оскільки в правій частині маємо постійне додатнє число, то й ліва частина рівняння буде набувати додатних значень. Отже, Функція є зростаючою. Оскільки в правій частині рівняння знаходиться число, а в лівій – зростаюча функція, то дане рівняння має не більше одного кореня. Це буде число х=1.

Розвитку креативних здібностей учнів сприяє і розв’язання нестандартних вправ. Під час цього учні проявляють “ризик”, винахідливість, логічну гнучкість.

Приклад 3. Розв’яжіть рівняння

Нехай , тоді рівняння набуває вигляду

Якщо піднести обидві частини рівняння до куба, дістанемо складне і громіздке рівняння. Орієнтуємо учнів на інший спосіб. Покажемо, що функція

є

оберненою до функції

,().

Змінимо t на y, у на t. Маємо:

).

Функції f(t) і g(t) зростаючі і взаємно обернені. Графіки взаємно обернених зростаючих функцій можуть перетинатися на прямій y=t. Тож маємо:

, отже,

Відповідь: 1.

Для самостійної роботи пропонується рівняння

.

Вказівка. Запишемо рівняння у вигляді

,

Доводимо, що функції

і

взаємно обернені і зростаючі. Отже, спільні точки їх графіків лежать на прямій . Маємо:

Приклад 4. Розв’яжіть рівняння

Запишемо рівняння у вигляді

Оскільки

то

Рівність і правої частин рівняння буде виконуватись за умови, що , звідки

Приклад 5. Доведіть нерівність

Розглянемо очевидні нерівності

і .

Додамо їх почленно, дістанемо

.

Оскільки обидві частини нерівності додатні, можемо піднести їх до n-го степеня. Маємо:

Що й треба було довести.

Приклад 6. Доведіть нерівність Запишемо нерівність у вигляді

Застосуємо векторний підхід. Нехай

Оскільки , то

звідки

Такі нестандартні вправи сприяють розвитку ініціативи, логічних навичок, креативного мислення.

Красивий, логічно витончений підхід до розв'язання вправ — це і є творчий підхід, маленьке “наукове” відкриття учня.

Сучасна людина повинна володіти гнучкістю мислення, варіативністю в підході до розв'язання різних проблем, в тому числі й наукових, математичних. Особливо потрібні такі риси людям розумової праці, науковцям. Їх можна виробити, навчаючи учнів розв'язувати одну й ту саму вправу різними способами.

Розглянемо приклади.

Приклад 7. Розв'яжіть рівняння

х2-4х+5.

Спочатку розв'язуємо його графічно. Потім пропонуємо інший підхід. Оцінимо ліву й праву частини рівняння:

-1х2-4х+5=(x-2)2+11.

Рівність х2-4х+5 можлива за умови

звідки х =2.

Розв'яжіть рівняння

Його розв'язання не викликає труднощів. Учні розв'язують його методом піднесення до степеня.

Але значно ефективніше й раціональніше застосувати вектори. Запишемо рівняння у вигляді

Уведемо вектори і . Нехай

Оскільки , то маємо:

Рівність можлива тоді, коли вектори і співнапрямлені, отже, колінеарні і їх координати пропорційні. Отже,

Розв'яжіть рівняння