Сторінка
6

Розвиток креативних здібностей через систему креативних вправ

Після розв'язування рівнянь методом звільнення від радикалів націлюємо учнів на інший шлях. Нехай

знайдемо похідну функції f(х)

Помічаємо, що на області визначення функції f'(х)>0. Отже, функція

зростає на своїй області визначення. Якщо в одній частині рівняння знаходиться зростаюча (спадна) функція, а в іншій — постійна, то рівняння має не більше одного кореня. Це буде х = 7.

Приклад 8. Доведіть нерівність

Перший спосіб — алгебраїчний. Оскільки обидві частини нерівності додатні, піднесемо їх до квадрата і знайдемо різницю правої і лівої частин:

(9х +16x +1)(а2 +b2 +1)-(a∙3x + b∙4x +1)2 = а2 ∙9х +b2∙9х +9Х +а2 ∙16x +b2∙16х +16x+ +а2+b2+1-а2∙9х-b2∙16х-1-2аb3x ∙4х-2а∙Зх -2b∙4x =(b∙3x-a∙4x)2+(3x-a)2+(4x-b)2≥ 0

отже,

Застосуємо векторний метод. Нехай m(3х;4х;і),n(a;b;1). Тоді

Оскільки , то

У цьому випадку геометричний підхід більш раціональний та ефективний від алгебраїчного. На таких прикладах учні вчаться шукати кращі, красивіші способи, креативні підходи до знаходження шляхів розв'язання запропонованих вправ.

Креативне мислення учнів виявляється в умінні аналізувати, синтезувати, порівнювати, абстрагуватися, конкретизувати. Особливу увагу приділяємо розвитку вмінь аналізувати й узагальнювати. Пропонуємо учням завдання, які вимагають більш високого рівня розумової діяльності. Це завдання дослідницького характеру. Вони передбачають проведення аналізу окремих випадків і перехід до загальних закономірностей.

Так, наприклад, у дев'ятому класі пропонуємо учням обчислити суми таких послідовностей:

1)

2)

3)

Після деяких міркувань учитель “наводить учнів на відкриття”. Підказка не є явною, нав'язаною, а швидше — евристичною. Першу вправу учні розв'язали за допомогою вчителя. Під час виконання другої вони несміливо починають застосовувати закономірність, виявлену в першій вправі. А вже третє завдання розв'язують упевнено. Після виконання всіх трьох вправ пропонуємо учням помічену властивість записати в загальному вигляді й довести її.

Учні доводять, що

Далі пропонуємо вправи складнішого характеру. Обчисліть такі суми:

1)

2)

3)

4)

Учні розв'язують усі завдання і для кожного знаходять загальну формулу.

Такі вправи розвивають пізнавальну потребу аналізувати, досліджувати, узагальнювати.

Неправильно вважати, що повторення — це репродуктивне відтворення пройденого матеріалу. Повторення — це творчий підхід до розгляду раніше вивчених питань на більш високому рівні їх застосування. Наприклад, у дев'ятому класі учні вивчали знаходження суми членів арифметичної та геометричної прогресій. Розв'язуючи тригонометричні та показникові рівняння в десятому класі, повторюємо ці формули та пропонуємо розв'язати такі вправи.

Розв'яжіть рівняння:

1)

2) де

3) де

В одинадцятому класі під час повторення похідної показуємо учням новий аспект застосування похідних, а саме: під час розв'язуванні рівнянь, доведенні нерівностей, тотожностей.

Приклад 9. Доведіть тотожність:

Нехай f(х)=. Знайдемо f'(х).

f'(х)=

Маємо, що f'(х)=0 при . Отже, f(х)=С при Знайдемо С. Візьмемо довільне значення х з області визначення. Нехай х = 0, тоді f(х)=0, тобто

або

Далі складаємо алгоритм, за яким учні вчаться розв'язувати такі вправи.

Щоб довести тотожність за допомогою похідної, треба:

1. Скласти функцію f(х), яка є різницею лівої і правої частин тотожності, визначену на проміжку f.

2. Знайти похідну функції f'(х) і довести, що вона дорівнює нулю.

3. За ознакою сталості функції зробити висновок: якщо f'(х)=0 на деякому проміжку f, то функція f(х) — стала на цьому проміжку, f(х)=С.

4. Надати х довільного значення з проміжку I і знайти сталу С [3;5].

Приклад 10. Якщо а та b — корені рівняння х2+ х -2004=0, то чому дорівнює значення виразу:

а2+2b2+аb+b-2004?

Нехай A=а2+2b2+аb+b-2004=(а+b)2 –аb+b2+b-2004. За теоремою Вієта:

а + b= -1, ab = -2004.

Крім того, b2+b-2004=0, оскільки b- корінь даного рівняння. Тому А=(-1)2+2004=2005.

Приклад 11. У червні у Черкасах кількість сонячних днів становила 25 % від кількості похмурих, кількість теплих днів - 20 % від кількості холодних. Тільки три дні були сонячними і теплими. Скільки було похмурих і холодних днів?

Розв’язання: у червні 30 днів. Тоді сонячних днів було 6, а похмурих днів—24. Теплих днів було 5, а холодних - 25. Оскільки сонячних і теплих було 3, то сонячних і холодних також було 3, а теплих і похмурих - 2 дні. Отже, похмурих і холодних днів було 30 - (2 + 3 + 3) = 22.

Приклад 12. Матір порахувала, що коли дітям дати по 4 цукерки, то 3 цукерки залишаться. А для того, щоб діти отримали по 5 цукерок, 2 цукерок не вистачає. Скільки дітей у матері?

Розв’язання: коли мати дасть дітям по 4 цукерки, то у неї залишиться 3 цукерки. Коли б у неї було ще 2 цукерки, то вона змогла б дати дітям по 5 цукерок, додавши кожній дитині ще по 1 цукерці. Отже, дітей було 5.

Приклад 13. Знайти цілі розв’язки рівняння. .