Сторінка
2
(якщо
)
при одному й тому ж номері неможливо. Отже, збіжність прогресії
в проміжку нерівномірна; це ж відноситься і до проміжків
і
зокрема.
Приведемо без доведення ознаку рівномірної збіжності ряду (13.22).
Ознака рівномірної збіжності. Для того, щоби ряд (13.22) рівномірно збігався в області необхідно і достатньо, щоби для кожного числа
існував такий не залежний від
номер
що при
і довільному
нерівність
(13.27)
буде мати місце для всіх із
одночасно.
Для встановлення на практиці рівномірної збіжності рядів користуються більш зручнішими в застосуванні достатніми ознаками, наприклад ознакою Вейєрштрасса.
Ознака Вейєрштрасса. Якщо члени функціонального ряду (13.22) задовольняють в області нерівностям
(13.28)
і числовий ряд
(13.29)
збігається, то ряд (13.22) збігається в рівномірно.
При наявності нерівності (13.28) говорять, що ряд (13.22) мажорується рядом (13.29), або що ряд (13.29) служить мажорантним рядом для (13.22).
Приклад 2. Розглянемо ряд
Р о з в ‘ я з о к. Оскільки нерівності виконуються на всій числовій осі, а числовий ряд
збігається, то даний функціональний ряд рівномірно збігається на
1.3. Функціональні властивості суми ряду
Ми переходимо тепер до вивчення функціональних властивостей суми ряду, складеного із функцій, в зв’язку із властивістю останніх.
Cума скінченого числа неперервних на відрізку функцій є неперервна на цьому відрізку функція. Для суми ряду (що складається із безмежного числа доданків) ця властивість не зберігається. Тут необхідні додаткові вимоги на неперервні доданки.
Теорема 1 (про неперервність суми ряду). Якщо функції
визначені та неперервні в проміжку
і ряд (13.22) рівномірно збігається в
до суми
, то й ця сума буде неперервною в проміжку
Зауваження. Рівномірна збіжність фігурує в теоремі лише як достатня умова і не потрібно думати, що ця умова є необхідною для неперервності суми ряду. Наприклад, ряд
на відрізку має неперервну суму, тотожньо рівну нулю, хоча на цьому відрізку ряд збігається нерівномірно.
Теорема 2 (про почленний перехід до границі). Нехай кожна з функцій
визначена в області
і має скінченну границю при
:
(13.30)
Якщо ряд (13.22) в області збігається рівномірно, то збігається і ряд, складений із цих границь:
(13.31)
і сума ряду (13.22) також має при
границю, а саме:
(13.32)
Рівність (13.32) можна записати в такому вигляді:
(13.33)
Таким чином, при наявності рівномірної збіжності функціонального ряду, границя суми ряду дорівнює сумі ряду, складеного із границь його членів, або, іншими словами, допустимий граничний перехід ”почленно”.
Теорема 3 (про почленне інтегрування рядів). Якщо функції неперервні на відрізку
і складений з них ряд (13.22) збігається на цьому проміжку рівномірно, то інтеграл від суми ряду (13.22) можна представити таким чином:
(13.34)
Рівність (13.34) можна записати ще так:
(13.35)
Інші реферати на тему «Математика»:
Інтегрування раціональних дробів та виразів, що містять ірраціональності
Інтегрування ірраціональних виразів
Метод виділення лінійних множників
Умовний екстремум. Метод множників Лагранжа. Метод найменших квадратів
Графічний метод розв’язання задачі лінійного програмування. Основи аналізу моделі на чутливість