Сторінка
3

Функціональний ряд, область його збіжності. Cтепеневі ряди. Теорема Абеля

Отже, у випадку рівномірної збіжності функціонального ряду, інтеграл від суми ряду дорівнює сумі ряду, складеного із інтегралів від його членів, або, іншими словами, допустиме ”почленне” інтегрування ряду.

Теорема 4 (про почленне диференціювання рядів). Нехай функції визначені на проміжку і мають на ньому неперервні похідні . Якщо в цьому проміжку ряд (13.22) збігається і, крім того, рівномірно збігається ряд, складений із похідних:

, (13.36)

то й сума ряду (13.22) має в проміжку похідну, причому

(13.37)

Рівність (13.37) можна записати так:

(13.38)

2. Степеневі ряди

2.1. Степеневі ряди за степенями

Означення 1. Степеневим рядом називається функціональний ряд такого вигляду:

, (13.39)

де постійні числа, що називаються коефіцієнтами ряду.

Як видно буде із наступної теореми, областю збіжності степеневого ряду може бути вся числова вісь, інтервал або тільки одна точка .

Теорема 1 (теорема Абеля). 1) Якщо степеневий ряд (13.39) збігається в деякій точці , то він збігається абсолютно при всіх значеннях для яких

2) якщо ряд (13.39) розбігається при деякому значенні , то він розбігається при всіх , для яких

Д о в е д е н н я. 1) Оскільки, за припущенням, ряд (13.39) збігається в точці

,

то його загальний член прямує до нуля при тобто а це значить, що всі члени ряду обмежені

де деяке додатне число.

Перепишемо ряд (13.39) у вигляді

(13.40)

і розглянемо ряд, складений із абсолютних величин його членів:

(13.41)

Члени цього ряду менші за відповідні члени ряду

(13.42)

При ряд (13.42) представляє геометричну прогресію із знаменником , а, значить, він збігається. Оскільки члени ряду (13.41) менші за відповідні члени ряду (13.42), то ряд (13.41) також збігається (за теоремою порівняння). Це значить, що ряд (13.40) або (13.39) збігається абсолютно.

2) Нехай тепер ряд (13.39) в деякій точці розбігається. Тоді він розбігається і в довільній точці , що задовольняє умові

Дійсно, якщо б він збігався в деякій точці що задовольняє цій умові, то за першою частиною теореми він повинен збігатися і в точці оскільки Але це протирічить умові, що в точці ряд розбігається. Отже, ряд (13.39) розбігається і в точці Таким чином, теорема повністю доведена.

Теорема 2. Областю збіжності степеневого ряду (13.39) є інтервал з центром в початку координат.

Д о в е д е н н я. Дійсно, якщо є точка збіжності, то за теоремою Абеля весь інтервал заповнюється точками абсолютної збіжності. Якщо точка розбіжності, то вся безмежна напівпряма вправо від точки і вся напівпряма вліво від точки складаються із точок розбіжності.

Звідси можна зробити висновок, що існує таке число , що при ми маємо точки абсолютної збіжності, а при точки розбіжності.

Означення 2. Інтервалом збіжності степеневого ряду називається такий інтервал , що для довільної точки , що лежить всередині цього інтервалу, ряд збігається абсолютно, а для точок, що знаходяться поза ним, ряд розбігається (рис. 13.3). Число називається радіусом збіжності степеневого ряду.

На кінцях інтервалу (тобто при ) питання про збіжність або розбіжність даного ряду вирішується індивідуально для кожного конкретного ряду.

Ряд збігається