Сторінка
2

Задачі геометричного і фізичного характеру, що приводять до диференціальних рівнянь

задовольняє даному рівнянню при довільному значенні постійної

Диференціальне рівняння першого порядку має вигляд

Якщо це рівняння можна розв’язати відносно похідної то можна записати у вигляді

.

В цьому випадку ми говоримо, що диференціальне рівняння розв’язане

відносно похідної. Для такого рівняння справедлива теорема про існування та єдності розв’язку диференціального рівняння.

Теорема. Якщо в рівнянні

функція та її частинна похідна неперервні в деякій області на площині що містить точку то існує єдиний розв’язок цього рівняння що задовольняє умові: при

Геометричний зміст цієї теореми такий: існує і при тому єдина функція графік якої проходить через точку

Умова, що при функція повинна дорівнювати заданому числу називається початковою умовою. Вона часто записується так:

Задача знаходження розв’язку диференціального рівняння, що задовольняє початковій умові, називається задачею Коші.

Означення 1. Загальним розв’язком диференціального рівняння першого порядку називається функція

яка залежить тільки від однієї довільної сталої і задовольняє таким умовам:

1) вона задовольняє диференціальному рівнянню при довільному конкретному значенню сталої

2) якою б не була початкова умова ( із області, в якій виконуються умови теореми існування і єдності розв’язку), можна знайти таке значення , що функція задовольняє даній початковій умові.

Як вже відмічалося, при відшуканні загального розв’язку диференціального рівняння ми часто приходимо до співвідношення вигляду

не розв’язаному відносно В таких випадках загальний розв’язок залишається в неявному вигляді. Рівність , що задає неявно загальний розв’язок, називається загальним інтегралом.

Означення 2. Частинним розв’язком називається довільна функція яка одержується із загального розв’язку якщо в останньому довільній сталій надати певного значення Співвідношення називається в цьому випадку частинним інтегралом.

З геометричної точки зору загальний інтеграл представляє собою однопараметричне сімейство кривих на координатній площині, що залежить від одного параметра Ці криві називаються інтегральними кривими даного диференціального рівняння. Частинному інтегралу відповідає одна крива цього сімейства, що проходить через деяку точку площини.

Розв’язати (про інтегрувати) диференціальне рівняння – це значить:

а) знайти його загальний розв’язок або загальний інтеграл (якщо не задані початкові умови);

б) знайти той частинний розв’язок рівняння або частинний інтеграл, який задовольняє початковим умовам (якщо такі є).

12.2. Геометрична інтерпретація диференціального рівняння першого порядку

Нехай диференціальне рівняння першого порядку, що розв’язане відносно похідної, має вигляд

(*)

Це рівняння для кожної точки з координатами та визначає . І, отже, похідну . Але значення похідної в точці дорівнює кутовому коефіцієнту дотичної до інтегральної кривої , яка проходить через цю точку. Отже, диференціальне рівняння (*) дає сукупність напрямків (так зване поле напрямків) на площині . З геометричної точки зору проінтегрувати диференціальне рівняння – це знайти криві, дотичні яких збігаються з напрямом поля у відповідних точках.