Сторінка
1

Задачі геометричного і фізичного змісту, що приводить до поняття подвійного інтеграла

План

• Задачі геометричного і фізичного змісту, що приводять до поняття подвійного інтеграла
• Означення подвійного інтеграла
• Теорема існування
• Властивості подвійного інтеграла

ПОДВІЙНІ ІНТЕГРАЛИ

1. Означення

Визначення об’єму циліндричного тіла. Циліндричним називається тіло, обмежене зверху поверхнею, рівняння якої , з боків - циліндричною поверхнею з твірними, паралельними осі , знизу - площиною .

Область , що висікається в площині циліндричною поверхнею, називається основою циліндричного тіла. В частинних випадках бічна циліндрична поверхня може бути відсутня; наприклад, тіло, обмежене площиною і верхньою частиною кулі .

Поставимо задачу про визначення об’єму циліндричного тіла. Для цього припустимо, що функція неперервна в області

і що поверхня повністю лежить над площиною , тобто скрізь в області .

Розіб’ємо область якими-небудь лініями на частин (рис.11.1), які називатимемо площадками. Щоб не вводити нових символів, позначатимемо через також площі цих площадок (двохвимірні міри). У кожній із площадок виберемо точки і позначимо через значення функції у вибраних точках. Через межу кожної площадки проведемо циліндричну поверхню з твірною, паралельною осі . Тоді циліндричне тіло буде розбите на циліндричних елементарних тіл. Замінивши кожне з них на прямий циліндр з тією самою основою і висотою , в результаті дістанемо об’єм - ступінчастого тіла:

(11.1)

Ця сума називається інтегральною сумою для функції в області .

Беручи об’єм розглядуваного тіла приблизно таким, що дорівнює об’єму побудованого - ступінчастого тіла, вважатимемо, що тим точніше виражає , чим більше і чим менша кожна з площадок. Переходячи до границі в (11.1) при вимагатимемо, щоб до нуля розміри (при цьому площадка стягуватиметься у точку, тобто її найбільший діаметр ).

Відповідно до викладеного беремо шуканий об’єм таким, що дорівнює границі, до якої прямує при :

Рис.11.1

. (11.2)

Можна абстрагуватися від задачі про знаходження об’єму тіла і дивитися на вираз (11.2) як на деяку операцію, що проводиться над функцією, визначеною на Ця операція називається операцією подвійного інтегрування функції (або ) за областю , а її результат – означеним інтегралом від по і позначається так:

.

Отже, об’єм циліндричного тіла

. (11.3)

Маса тіла. Нехай тепер в трьохвимірному просторі, де визначена прямокутна декартова система координат , задано тіло (множина) з неперервно розподіленою в ньому масою з густиною розподілу ( ). Потрібно визначити масу тіла . Розіб’ємо на частин об’єми (трьохвимірні міри) яких ( в припущенні, що вони існують) позначимо або