Сторінка
5

Основні правила диференціювання. Таблиця похідних

або

(6.43)

Правило знаходження похідної від складної функції: щоб знайти похідну від складної функції, треба знайти похідну від зовнішньої функції за зовнішнім аргументом і результат помножити на похідну від внутрішньої функції за внутрішнім аргументом.

Зауваження. Ця теорема може бути узагальнена і на той випадок, коли аргумент внутрішньої функції є, в свою чергу, функцією від іншого аргументу. Так, якщо маємо функції і кожна з них у відповідних точках має похідні, то функція має похідну по , яка дорівнює

Приклади.

1. Знайти похідну від функції .

Р о з в ’ я з о к. Введемо позначення . Тоді матимемо складну функцію і задовольняють умовам теореми для . Отже,

2. Знайти похідну від функції .

Р о з в ’ я з о к. Введемо позначення . Тоді матимемо складну функцію , .

Тому

Похідна від степенево-показникової функції.

Означення. Функція , де і - функції , називається степенево-показниковою функцією.

Степенево-показникову функцію не можна диференціювати ні за формулою похідної степеневої функції, ні за формулою показникової функції, оскільки вона не є ні тою ні другою. Одержимо окрему формулу.

Нехай дана функція , де . Прологарифмувавши обидві частини рівності, маємо

Диференціюємо обидві частини цієї рівності по як складні функції:

Звідси

або

(6.44)

Правило диференціювання степенево-показникової функції: щоб продиференціювати степенево-показникову функцію, достатньо знайти від неї похідну як від показникової функції (тимчасово вважаємо основу сталою), похідну як від степеневої функції (вважаємо показник сталим) та результати додати.

Приклади.

1. Знайти похідну від функції .

Р о з в ’ я з о к.

2. Знайти похідну від функції .

Р о з в ’ я з о к.

Зауваження. Застосований в цьому параграфі прийом для знаходження похідних, коли спочатку знаходять похідну логарифму даної функції, широко використовується при диференціюванні функцій. Цей прийом часто спрощує обчислення.

Приклад.

Знайти похідну від функції

Р о з в ’ я з о к. Логарифмуючи, знаходимо

Диференціюємо обидві частини цієї рівності:

Звідси

Похідна від складної функції кількох змінних.

Із означення безпосередньо випливає правило знаходження частинних похідних функції : щоб знайти частинну похідну від функції за одним із її аргументів, потрібно обчислити похідну від функції за цим аргументом, вважаючи інші аргументи постійними .

Приклади.

1. Знайти частинні похідні від функції

Р о з в ’ я з о к.

2. Знайти частинні похідні від функції

Р о з в ’ я з о к.

Нехай задана функція , аргументи якої і є функціями незалежної змінної :

Нехай має по і неперервні частинні похідні і і існують і . Тоді можна довести існування похідної складної функції і одержати формулу для її обчислення: