Сторінка
1
План
- Неперервність функції в точці та в області.
- Дії над неперервними функціями.
- Основні властивості функцій, неперервних на відрізу, в обмеженій замкнутій області.
- Точки розриву та їх класифікація.
- Павутинні моделі ринку.
1. Неперервність функцій.
Розриви функції та їх класифікація
Означення 1. Функція називається неперервною в точці
:
1) якщо функція , визначена в точці
;
2) якщо існує границя в точці
;
3) якщо границя функції дорівнює значенню функції в цій точці, тобто .
Разом всі ці умови є необхідними і достатніми для того, щоб функція була неперервною в точці
. В дальшому будемо користуватися і таким означенням неперервності функції.
Означення 2. Функція називається неперервною в точці
, якщо для будь-якого як завгодно малого числа
існує таке число
, що для всіх точок
, які задовольняють нерівності
, виконується нерівність
.
На практиці при дослідженні функції на неперервність часто користуються означенням неперервності функції, яке базується на понятті приросту функції в точці.
Нехай функція визначена в усіх точках деякого проміжку
. Візьмемо дві довільні точки з цього проміжку
і , де
.
Тоді число називається приростом аргументу, а число
- приростом функції
в точці
.
Нехай в деякій (відкритій) області задана функція двох змінних . Візьмемо довільну точку
цієї області і надамо
приросту
, залишаючи значення
незмінним.
При цьому функція одержить приріст
, який називається частковим приростом цієї функції за
.
Аналогічно, вважаючи постійною і надаючи
приросту
, одержимо частинний приріст от функції
за
:
.
Приріст
називається повним приростом функції в точці
, відповідним приростfм
і
незалежних змінних.
Означення 3. Функція називається неперервною в точці
, якщо
.
Легко бачити, що наведені означення неперервності функції в точці є еквівалентні між собою в тому розумінні, що коли функція неперервна в точці за яким-небудь одним означенням, то вона неперервна і за рештою означень та навпаки.
Інші реферати на тему «Математика»:
Обчислення подвійного інтеграла в декартових і полярних координатах
Існування та єдиність розв’язків диференціальних рівнянь першого порядку. Неперервна залежність та диференційованість
Задачі геометричного і фізичного змісту, що приводить до поняття подвійного інтеграла
Розклад функцій в степеневий ряд. Достатні умовирозкладу в ряд Тейлора. Застосування степеневих рядів до наближеного обчислення
Інтегрування деяких рівнянь другого порядку шляхом пониження порядку рівняння