Сторінка
1
План
- Неперервність функції в точці та в області.
- Дії над неперервними функціями.
- Основні властивості функцій, неперервних на відрізу, в обмеженій замкнутій області.
- Точки розриву та їх класифікація.
- Павутинні моделі ринку.
1. Неперервність функцій.
Розриви функції та їх класифікація
Означення 1. Функція називається неперервною в точці
:
1) якщо функція , визначена в точці
;
2) якщо існує границя в точці
;
3) якщо границя функції дорівнює значенню функції в цій точці, тобто .
Разом всі ці умови є необхідними і достатніми для того, щоб функція була неперервною в точці
. В дальшому будемо користуватися і таким означенням неперервності функції.
Означення 2. Функція називається неперервною в точці
, якщо для будь-якого як завгодно малого числа
існує таке число
, що для всіх точок
, які задовольняють нерівності
, виконується нерівність
.
На практиці при дослідженні функції на неперервність часто користуються означенням неперервності функції, яке базується на понятті приросту функції в точці.
Нехай функція визначена в усіх точках деякого проміжку
. Візьмемо дві довільні точки з цього проміжку
і , де
.
Тоді число називається приростом аргументу, а число
- приростом функції
в точці
.
Нехай в деякій (відкритій) області задана функція двох змінних . Візьмемо довільну точку
цієї області і надамо
приросту
, залишаючи значення
незмінним.
При цьому функція одержить приріст
, який називається частковим приростом цієї функції за
.
Аналогічно, вважаючи постійною і надаючи
приросту
, одержимо частинний приріст от функції
за
:
.
Приріст
називається повним приростом функції в точці
, відповідним приростfм
і
незалежних змінних.
Означення 3. Функція називається неперервною в точці
, якщо
.
Легко бачити, що наведені означення неперервності функції в точці є еквівалентні між собою в тому розумінні, що коли функція неперервна в точці за яким-небудь одним означенням, то вона неперервна і за рештою означень та навпаки.
Інші реферати на тему «Математика»:
Інтегрування раціональних дробів та виразів, що містять ірраціональності
Задачі, що приводять до поняття означеного інтеграла. Формулювання теореми існування
Квадратичні форми, їх приведення до діагонального (канонічного) вигляду
Маса лінії. Координати центра ваги плоскої кривої та фігури
Границя та неперервність функцій багатьох змінних