Сторінка
1
План
- Маса плоскої лінії
- Статичні моменти і центр ваги
- Обчислення моментів інерції
- Обчислення роботи
- Деякі задачі прикладного характеру
1. Застосування інтегрального числення у фізиці,
механіці, техніці
1.1. Маса плоскої лінії
У класичній механіці матеріальні тіла часто зображують як просторову область , що заповнена без прогалин речовиною. Якщо відома маса
тіла і об’єм
тієї області
, яку вона заповнює, то відношення маси
до
називається середньою густиною
. Часто доводиться мати справу з тілами, в яких густина
в околі різних точок різна. Тоді густина буде функцією точки
, що належить області
, тобто
. Якщо розглянути нескінченно малу область
, що оточує точку
, об’єм якої дорівнює
, маса –
, то
. Звідки
.
У випадку, коли є функцією лише однієї змінної, наприклад
, а
(саме цей випадок тут і розглядатиметься), то
, (10.13)
де .
Якщо розглядати матеріальну плоску криву
з лінійною густиною розподілу мас
то маса елементарного кусочка кривої буде
звідки одержимо формулу для обчислення маси кривої
(10.14)
1.2. Статичні моменти і центр ваги
Визначення. Статичним моментом матеріальної точки маси
відносно осі (площини) називається добуток маси точки на її відстань
від осі (площини) :
.
Про статичний момент відносно осі говорять лише тоді, коли система матеріальних точок (неперервна або дискретна) є плоскою, тобто знаходиться в одній і тій самій площині, що й вісь. Якщо ж система матеріальних точок не належить одній площині, то мова може йти лише про статичний момент відносно площини.
Для системи матеріальних точок мас статичний момент
відносно осі (площини) визначається сумою
, де
– відстані зі знаком ”+” або “-” залежно від того, де знаходяться точки (для точок, що лежать з одного боку від осі (площини) береться, наприклад, знак “+”, тоді для точок, що лежать з іншого боку, знак “-”).
Нехай у прямокутній системі координат задана неперервна плоска система матеріальних точок (лінія
) або плоска фігура . Густина (лінійна для лінії, поверхнева для фігури) є функцією однієї змінної, наприклад
, тобто
Виділивши на лінії елемент дуги, віддалений від осі
на відстань
(від осі
на відстань
) знайдемо елементарні статичні моменти
відносно осей
і
: