Сторінка
2

Моделювання кредитного ризику за допомогою імовірнісних автоматів

.

Тоді, під час виплати ренти, банк одержуватиме таку величину:

R(1 – h) + Rhq = R(1 – h + hq). У даній формулі немає залежності від процентної ставки a1 чи a2, однак не варто забувати, що величина ренти залежить від цих показників. У даному випадку величина ренти залежить від установленої банком кредитної ставки a1, а величина ренти, що існувала у випадку відсутності ризику R0, залежить від процентної ставки a2. Умовою, з якої можуть бути знайдені дані процентні ставки, є умова рівності в середньому величини виплат по ренті з урахуванням ризику і величини ренти в умовах відсутності ризику, тобто одержимо:

M(R(1 – h + hq)) = RM(1 – h + hq) = R(1 – Mh + M(hq)) = R(1 – Mh + MhMq) = R0. Якщо записати це співвідношення, використовуючи процентні ставки a1 і a2, то одержимо таке рівняння:

.

А це рівняння вже розв’язується за допомогою комп’ютера.

Якщо ж внесок був застрахований, то можна виділити страховий ризик, тобто ризик, при якому страхова компанія не виконає своїх зобов’язань. Нехай деяка випадкова величина y і характеризує цей ризик, вона являє собою величину, що приймає значення 0 чи 1, з певними ймовірностями. Значення 0 відповідає невиконанню страховою компанією умов договору, а значення 1 – виконання таких умов.

У такому випадку, коли маємо справу з простою процентною ставкою, її обчислення відбуватиметься на основі таких міркувань.

Величина, яку одержить банк без страховки, як було зазначено раніше, буде такою: S = (1+a1)S0((1–h) + hq).

Аналогічні міркування можна застосувати і для знаходження складної процентної ставки по кредиту. Як і раніш, нехай клієнт сплачує деяку ренту R. Без страхування коштів ця сума буде такою: R(1 – h + hq).

Для того, щоб можна було вважати кредитний відсоток для кредитів у валюті, необхідно включити в розгляд і валютний ризик. Він зв’язаний у першу чергу з імовірністю зміни курсу валюти за час угоди. У найпростішому випадку цей ризик можна враховувати так.

Коливання курсу валюти (відношення курсу наприкінці угоди до курсу на початку угоди) являє собою випадкову величину x (як прогнозувати поведінку курсу валюти показано в [2]). Для простоти приймемо, що це буде дискретна випадкова величина. Необхідно визначити, якою повинна бути кредитна процентна ставка за цим договором, щоб у середньому забезпечити повернення кредиту з кредитною ставкою a2. Нехай кредит надається в доларах, а оцінною валютою є гривня і випадкова величина x – коливання курсу долара щодо гривні. Середнє коливання валюти нехай буде . На момент кінця угоди банк одержить у середньому суму SF = ´(1+a1)S0. У випадку, коли такого ризику не було б, банк одержав би SF = (1+a2)S0. У такий спосіб дана кредитна ставка є ненабагато завищеною (хоча таке завищення в даному випадку допускається, оскільки всі інші ризики поки що нами не враховані). Для того, щоб визначити оптимальну кредитну ставку, знову приходимо до рівності:

´(1+a1)S0 = (1+a1)S0.

Звідки знову знаходимо значення процентної ставки по кредиту: . Тепер об’єднаємо ці формули, щоб можна було одночасно використовувати і кредитний ризик і ризик неповернення кредитів для визначення оптимальної кредитної процентної ставки, при якій, у середньому, банк не нестиме втрат. Ця формула буде випливатиме з наступних міркувань: у середньому по кредиту банк одержить кількість коштів, що залежатиме від середнього коливання курсу валюти і середньої частини повернення кредиту, тобто кінцева сума, яку повернуть банку буде (1–)(1+a1)S0. А тоді, виходячи з бажаної рівності коштів, одержимо: (1–)(1+a1)S0=(1+a2)S0. Звідси остаточна формула залежності процентної ставки від ризиків, матиме вигляд:

.

Характерною рисою формули є те, що при середньому коливанні дуже близькому до 1, значення процентної ставки практично не змінюється, а якщо ж коливання істотне і більше 1, то процентна ставка по кредиту a1 може бути навіть менше, ніж a2. У випадку, коли коливання, у середньому, наближаються до нуля, що у свою чергу означає, що курс валюти значно знизився, процентна ставка a1 буде дуже високою.

Перейдемо безпосередньо до побудови імовірнісної-автоматної моделі:

Реальна процентна ставка a2 є деякою випадковою величиною r. Кредит, що видається i-му клієнту, також є випадковою величиною zi.

Переведення усіх виплат по кредиту в основну валюту відбувається тільки після закінчення періоду, на який цей кредит був даний. Валютний курс вважається випадковою величиною x. Кожен кредит страхується і тому борг може бути повернутий страховою компанією залежно від реалізації випадкової величини yi.

Внутрішні стани автоматів будуть такими:

ai(t) () – час від моменту t до моменту взяття кредиту i-им клієнтом банку;

bi(t) () – час від моменту t до моменту закінчення терміну ренти для i-го клієнта банку;

ci(t) () – випадкова величина hi – частина ренти, що може повернути i-ий клієнт;

di(t) () – накопичена на момент t сума по ренті, що виплачена i-им клієнтом;

e(t) – курс валюти на момент t;