Сторінка
6
Піфагорійці також відкрили, що сума деяких пар квадратних чисел є знову квадратне число. Наприклад, сума 9 й 16 дорівнює 25, а сума 25 й 144 дорівнює 169. Такі трійки чисел, як 3, 4 й 5 або 5, 12 й 13, називаються пифагоровыми числами.
Прийнято вважати, що послідовники Платона винайшли метод доказу, що одержав назву «доказ від противного». Помітне місце в історії математики займає Аристотель, учень Платона. Аристотель заклав основи науки логіки й висловив ряд ідей щодо визначень, аксіом, нескінченності й можливості геометричних побудов.
Близько 300 до н.е. результати багатьох грецьких математиків були зведені в єдине ціле Евклидом, що написало математичний шедевр Початок. З деяких проникливо відібраних аксіом Евклид вивів близько 500 теорем, що охопила усі найбільш важливі результати класичного періоду. Свій твір Евклид почав з визначення таких термінів, як пряма, кут й окружність. Потім він сформулював десять самоочевидних істин, таких, як «ціле більше кожної із частин». І із цих десяти аксіом Евклид зміг вивести всі теореми. Для математиків текст Початків Евклида довгий час служив зразком строгості, поки в 19 в. не виявилося, що в ньому є серйозні недоліки, такі як неусвідомлене використання несформульованих у явному виді допущень.
Індія й араби
Спадкоємцями греків в історії математики стали індійці. Індійські математики не займалися доказами, але вони ввели оригінальні поняття й ряд ефективних методів. Саме вони вперше ввели нуль й як кардинальне число, і як символ відсутності одиниць у відповідному розряді. Махавира (850 н.е.) установив правила операцій з нулем, думаючи, однак, що ділення числа на нуль залишає число незмінним. Правильна відповідь для випадку ділення числа на нуль був даний Бхаскарой (р. в 1114). Наша сучасна система числення, заснована на позиційному принципі запису чисел і нуля як кардинального числа й використанні позначення порожнього розряду, називається індо-арабською. На стіні храму, побудованого в Індії ок. 250 до н.е., виявлено кілька цифр, що нагадують по своїх обрисах наші сучасні цифри.
Близько 800 індійська математика досягла Багдада. Термін «алгебра» походить від початку назви книги Аль-джебр ва-л-мукабала (Заповнення й протиставлення), написаної в 830 астрономом і математиком аль-Хорезми. У своєму творі він відплачував належне заслугам індійської математики. Алгебра аль-хорезми була заснована на працях Брахмагупти, але в ній виразно помітні вавилонський і грецький впливи.
Епоха Відродження
Середньовічна Європа. Римська цивілізація не залишила помітного сліду в математику, оскільки була занадто стурбована рішенням практичних проблем. Цивілізація, що склалася в Європі раннього Середньовіччя (близько 400–1100), не була продуктивної по прямо протилежній причині: інтелектуальне життя зосередилося майже винятково на теології й загробному житті. Рівень математичного знання не піднімався вище арифметики й простих розділів з Початків Евклида. Найбільш важливим розділом математики в Середні століття вважалася астрологія; астрологів називали математиками.
Першим європейським математиком, що заслуговує згадування, став Леонардо Фибоначчи (Фибоначчи). У своєму творі Книга абака (1202) він познайомив європейців з індо-арабськими цифрами й методами обчислень, а також з арабською алгеброю. Протягом наступних декількох століть математична активність у Європі ослабла. Звід математичних знань тієї епохи, складений Лукою Пачоли в 1494, не містив яких-небудь алгебраїчних нововведень, яких не було в Леонардо.
Початок сучасної математики
Настання 16 ст. у Західній Європі ознаменувалося важливими досягненнями в алгебрі й арифметиці. Були уведені в обіг десяткові дроби й правила арифметичних дій з ними. Дійсним тріумфом став винахід в 1614 логарифмів Дж. Непером. До кінця 17 ст остаточно зложилося розуміння логарифмів як показників ступеня з будь-яким позитивним числом, відмінним від одиниці, як підстава. З початку 16 ст. більш широко стали вживатися ірраціональні числа. Комплексні числа остаточно визнали тільки на початку 19 ст., коли математики освоїлися з їхнім геометричним поданням.
Гірше всього грецька система запису чисел: за допомогою букв, без усякого зв'язку зі звичним рахунком на пальцях. Треба зв'язати позначення чисел із процедурою рахунку! Індійські вчені зробили це, створивши позиційну десяткову систему числення. Перший крок до цієї мети зробив близько 500 року молодий математик Ариабхата з міста Кусумапура. Він почав зображувати кожен розряд у десятковому записі цілого числа парою букв. Приголосна позначала цифру, а голосна - номер розряду. Ці пари букв записувалися по зростанню ступенів числа 10. Але розрізнити таке слово-число у звичайному тексті було не просто; тому незабаром накреслення літер-цифр були змінені, і з'явилися перші десяткові цифри. Нуля серед них ще не було - але незабаром довелося його ввести, для зручності читання десяткового запису. Через сто років після Ариабхаты його співвітчизник Брахмагупта вже вільно оперував з негативними числами й нулем і вирішував рівняння з таким же мистецтвом, як Диофант.
Протягом усього Середньовіччя наука розвивалася повільно. А наука Ісламського миру, напроти, служила як би "холодильником відкриттів". Тут вищі досягнення Еллади чекали зухвалих і вмілих користувачів і продовжувачів. Навпроти, застигла вченість імперського Китаю стала в ту пору "холодильником інтелігенції". Тільки в 18 столітті, коли нові зухвалі європейці прорвалися в Китай, вони викликали там пробудження великих природних сил. До 20 століття китайські вчені знову увійшли до числа передових розумів людства: це виразилося й у нобелівських преміях, і в математичних відкриттях. Повернемося в Європу, де після розпаду Римської імперії наступили "Темні століття". Не можна сказати, що в цю пору зникла державність або припинилася торгівля. Навпроти, вони процвітали в Східній Римській державі, створеної новими грекоязичними християнами - ромеями. Їх часто називають і візантійськими - на честь древнього міста Візантія на Босфорі, що був тоді перейменований у Константинополь і прозваний "Другим Римом". Умінням плавати по морю й будувати міста ромеи не уступали своїм предкам-еллінам; у державних справах вони наслідували своїх попередників - римлянам.
Перше сторіччя хрестових походів розширило кругозір дуже багатьох європейців. Особливо відрізнилися жителі приморських міст Італії: Венеції, Генуї, Пизы. Тутешні Мореплавці переправляли хрестоносців і прочан у Святу землю, а купці наживалися, продаючи видобуток хрестоносців й інші "східні" товари по всій Європі. Поступово багато міст католицької Італії перетворилися в торговельні республіки, схожі на поліси античної Еллади. З початку 13 століття в цих республіках помітна наукова самодіяльність не тільки церковників, але й мирян - насамперед, купців.
В 1202 році з'явився перший "саморобний" підручник арифметики для широкого читача - "Книга Абака". Його склав Леонардо Фибоначчи з Пізи (1180-1240), з дитинства причетний до торговельних справ свого батька. Арифметиці він навчився в Алжирі в місцевих мусульман, а тепер сам навчав одновірців новому десятковому рахунку. Пізніше Фибоначчи написав підручник "Практична геометрія" й "Книгу квадратів". У них уперше були викладені (на латині) правила дій з нулем і негативними числами, а також з'явилися знамениті числа Фибоначчи.