Сторінка
7

Динамічні властивості нелінійних локалізованих мод у лінійних молекулярних ланцюжках

Як бачимо, воно нічим не відрізняється від аналогічного рівняння , отриманого для акустичних фононів, крім коефіцієнту gopt, що пропорційний до copt2, тобто фактично є константою взаємодії квазічастинки з деформацією. У залежності від значення цієї константи, збудження або рівномірно розподілиться по ланцюжку (делокалізований стан, гармонійні коливання), або утвориться автолокалізований стан, тобто солітон, у вигляді .

Частина ІІІ. Дослідження еволюції колективного збудження молекулярного ланцюжка із урахуванням взаємодії з айнштайнівськими оптичними фононами

Чисельне інтеґрування рівнянь, що описують поширення квазічастинки у полі оптичних фононів. Підготування рівнянь до чисельного інтеґрування.

Для того, щоб чисельно проінтеґрувати рівняння -, слід розділити дійсну і уявну частину, а також знерозмірити всі величини в рівнянні, оскільки з такими величинами простіше працювати. Виконаємо фазові перетворення, замінивши у рівнянні . В результаті наша система рівнянь матиме вигляд:

Знерозміримо рівняння, поділивши першу рівність на ħW0. Другу рівність поділимо на W02, і в обох рівняннях замінимо un®lun де l має зміст мірила і розмірність м-1. Тоді здобудемо шукані рівняння:

Тепер введемо позначення:

Тоді остаточно наші рівняння матимуть вигляд:

Для чисельного розв’язку задачі в друге рівняння введемо слабке тертя:

Додатково це буде пояснено пізніше, а зараз введемо ще одне позначення:

де g має зміст зведеного коефіцієнту тертя. Окрім того, для чисельного інтеґрування нам зручніше мати рівняння першого порядку по часу. Тому позначимо і розіб’ємо друге рівняння на два:

Повернемось до першого рівняння й позначимо:

де перший і другий члени мають зміст дійсної та уявної частини хвильової функції відповідно. Тоді перше рівняння системи матиме вигляд:

Очевидно, що ліва і права частини будуть рівні, коли рівні відповідні дійсні та уявні частини. Тоді наше рівняння розпадається на дві рівності від дійсних змінних. Враховуючи , запишемо шукану систему рівнянь:

Початкові та граничні умови. Інтеґрування рівнянь методом Рунґе-Кутта.

Розв’яжемо рівняння –, застосувавши періодичні граничні умови [4][5]:

де N – кількість молекул у ланцюжку, нумерація молекул – від 1 до N. Крім того, при розрахунку першої молекули в рівняннях - з’явиться функція від молекули n=0. Уявивши собі ланцюжок у вигляді кільця, можна зрозуміти, що нульова молекула збігається з N-ою[12]:

Початкові умови в момент t=0, взагалі кажучи, невідомі, тому можна обрати їх довільними. Але зрозуміло, що вони будуть відрізнятися від справжніх початкових умов, які відповідають локалізованим станам, і довільне початкове збудження ми зводимо до потрібного стаціонарного розв’язку за рахунок штучного введення тертя . Тоді ми отримаємо “правильні” розв’язки, не знаючи, з якими початковими умовами вони насправді отримуються. Під час розрахунків зручно посадити збудження на молекулу n=N/2 (N беремо парним) і декілька сусідніх, і прослідкувати його еволюцію:

Розрахунки здійснено методом Рунґе-Кутта четвертого порядку, докладно описаному в [10], [11], [12]. Кількість рівнянь, які розраховувались одночасно, є змінною і дорівнює 4N (по 4 рівняння для кожної молекули, в загальному випадку кожне рівняння містить функцію від 4N+1 змінних, але реально – від 4 змінних). Обчислювались значення функцій

у кожен момент часу t=0 T (T – кінцевий час еволюції, задається довільно) із заданим кроком Dt. Похибка цього методу має порядок Dt4, і при обраному нами Dt=0.05 отримували розв’язки із похибкою порядку 10-6 [10][12].

Для виконання обчислень було написано програму на мові PHP, яка створювала масив даних, з яких побудовано графіки за допомогою Microsoft Excell 2000. Код програми із коментарями та описом процесу розрахунків наведено у Додатку.

Результати чисельних обчислень

Розрахунки проводились для декількох значень коефіцієнта g0 при сталих інших параметрах: