Сторінка
5

Динамічні властивості нелінійних локалізованих мод у лінійних молекулярних ланцюжках

Друге рівняння системи ми перепишемо, знехтувавши другою похідною від хвильової функції квазічастинки, вважаючи її малою:

Тепер введемо заміну

де j – деяка дійснозначна функція. Тоді Звідси маємо

Проінтеґрувавши рівність по x, отримаємо:

де C – константа інтеґрування. Величина має зміст деформації ланцюжка, яка створюється квазічастинкою й існує тільки там, де . Для того, щоб задовільнити цю умову, мусимо покласти C = 0. Тоді . Повернувшись до нашої заміни, а також згадавши з , що (де c – швидкість звуку в суцільному середовищі), маємо

Тут введено позначення s = v2/c2. Позначивши і підставивши значення ux у рівняння , отримаємо остаточно:

Це співвідношення називають нелінійним рівнянням Шредінґера (НРШ).

Солітони як розв’язки нелінійного рівняння Шредінґера.

Для того, щоб розв’язати рівняння , оберемо такі a i g, щоб . Зокрема, вибір константи g тепер однозначний: g = a2/2. Тоді нелінійне рівняння Шредінґера набуде так званої канонічної форми:

Будемо шукати розв’язок у вигляді [8]:

Тут F(x), q(x) – деякі функції. Тоді, підставивши це у рівняння [7], здобудемо:

Поділивши на експоненту та прирівнявши дійсну та уявну частину рівняння нулю, отримаємо систему рівнянь:

Розв’яжемо спершу рівняння , розділивши у ньому змінні:

Інтеґруючи, здобудемо (В – константа інтеґрування), звідки

Тут ми перепозначили B = -1/B2. Підставимо отримане значення qx у рівняння :

Звідси . Домноживши обидві частини на Fx, отримаємо:

Інтеґруємо це співвідношення й після інтеґрування домножуємо обидви частини на 8F2:

де C – константа інтеґрування (її було перепозначено після домноження). Позначимо S=F2, тоді Sx=2FFx. Тоді маємо:

Оскільки ми шукаємо локалізовані у обмеженій області простору розв’язки, то амплітуда F(x) на нескінченості повинна прямувати до нуля. Звідси звідки Для того, щоб це виконувалось, має бути B=C=0. Покладемо тоді:

Звідси маємо . Розділяючи змінні, маємо:

де 2x0 – константа інтеґрування. Інтеґруючи ліву частину[8] і перепозначивши маємо:

Звідси (модуль опускаємо, оскільки справа завжди додатній вираз). Тоді маємо:

Підносимо обидві частини до квадрату, спрощуємо і знаходимо S:

У знаменнику бачимо косинус гіперболічний, тому остаточно . Звідси маємо:

Тепер знаходимо q, проінтеґрувавши , попередньо поклавши B=0:

Тут x1 – стала інтеґрування.

Остаточно матимемо: